近极槽永磁电动机齿顶漏磁对转矩的影响

夏加宽 彭 兵 王成元 董 婷 孙宜标 韩桂新

（1.沈阳工业大学电气工程学院 沈阳 110870 2.沈阳职业技术学院机械装备系 沈阳 110045）

1 引言

直接驱动的表贴式永磁同步电机通常采取近极槽方案，获得了一些优异的性能，如高转矩密度、高的系统效率和高伺服精度[1-3]，在航空航天、机床、汽车、计算机等领域倍受青睐[4-7]。与传统分布绕组永磁电机相比，近极槽永磁同步电机的磁路发生了一些变化，带来了一些寄生影响，齿顶漏磁是其寄生影响之一。

严重的齿顶漏磁降低了永磁材料的利用率，降低了电机的输出转矩。当电机旋转时还会引起链过各相绕组的磁通发生周期性波动，使电机绕组感生的反电动势发生波动，产生纹波转矩，影响系统的控制精度[8]。文献[9]研究了近极槽配合表贴式永磁同步电机齿顶漏磁的有限元计算方法，得到了一些有益的结论；文献[10]研究了单齿齿顶漏磁的计算方法，给出了单齿齿顶漏磁的解析表达式；文献[11]研究了单齿齿顶漏磁和平均每极齿顶漏磁的计算方法，分析了平均每极齿顶漏磁的大小和电机结构参数对齿顶漏磁的影响。但是以上文献均没有分析齿顶漏磁对链过三相绕组主磁通的影响，没有分析其引起的纹波转矩和对平均电磁转矩降低的程度。

本文以单齿齿顶漏磁为基础，分析了一对极下的齿顶漏磁的规律，把齿顶漏磁和三相绕组联系了起来。接着对齿顶漏磁函数进行了傅里叶分解。然后分析了齿顶漏磁与反电动势和转矩的关系。最后，以120槽80极外转子永磁同步电机为例，结合Ansoft有限元仿真软件验证齿顶漏磁对电机转矩影响分析方法的正确性。

2 近极槽表贴式永磁电机齿顶漏磁谐波

2.1 单齿齿顶漏磁函数

假设铁心导磁率为无穷大，不考虑槽口漏磁，根据文献[11]可知，当齿中线与邻近的q轴重合时，该齿的齿顶漏磁最大；齿中线与邻近的d轴重合时，该齿的齿顶漏磁为零，在一个齿距内，单齿齿顶漏磁与转子转过角度θ 的关系如图1所示。

图1 单齿齿顶漏磁通图Fig.1 Zigzag leakage flux diagram of one tooth

图1中，z为槽数；p为极对数；bs为槽距；τ为极距；bm为永磁体宽度，bm=αpτ，αp是极弧系数；n为转速；Φm为永磁体向外磁路提供的磁通；ΦLt为齿顶漏磁通；θ为q轴相对定子槽中线沿气隙圆周的夹角。

可以看出，它是一个周期函数，其基波分量的波长等于一个齿距。据图1可写出单齿齿顶漏磁ΦLt的方程式

2.2 基于一对极下的齿顶漏磁

在图 1b位置，2齿的齿顶漏磁最大，此时，2齿的齿中线与第 1个磁极右侧的 q1轴重合。第 2p个磁极右侧的的 q2p轴与 1齿的齿中线相差|360°/z-360°/(2p)|角度，当转子转过|360°/z - 360°/(2p)|角度后，1齿的齿顶漏磁达到最大，如此循环，电机转动一周后，齿顶漏磁周期数nL为

nL也是槽数和极数的最小公倍数，这和齿槽转矩周期数相一致。反映到一对极下，其周期数nT为

对3槽2极单元电机，nT=6；对12槽10极单元电机，nT=12；对9槽8极单元电机，nT=18，周期数nT为相数的偶数倍。

对于近极槽三相对称绕组单元电机，A、B、C绕组是依次排列的，且连续几个槽都是A相，接着是B相，然后是C相，如12槽10极单元电机的绕组排列为A-A-BBC-C-AAB-B-CC。可以认为每个齿都对应于某相下的某个线圈，这样就把齿顶漏磁和A、B、C三相绕组联系起来了。图2为电机转过一对极时的全部齿顶漏磁曲线图。

图2 电机转过一对极的全部齿顶漏磁Fig.2 Zigzag leakage flux under one pair of poles

2.3 齿顶漏磁的傅里叶分解

缠有A相绕组线圈齿的齿顶漏磁如图2所示，正负半周各有z/(3|z-2p|)个三角波组成。结合图1，得到所有A相绕组线圈齿的齿顶漏磁ΦLtA的傅里叶展开式为

式中 ν——谐波次数；

ΦL0——傅里叶展开式的常数项；

ΦLaν——傅里叶展开式余弦分量幅值；

ΦLbν——傅里叶展开式正弦分量幅值。

由于该非正弦周期信号的波形关于原点对称，则ΦL0和ΦLaν为零，且不含偶次谐波分量。则式（4）化简为

为简化分析，假设极弧系数αp=1，在这里只分析z/(3|z-2p|)=1，即正负半周各只有一个三角波情况时的傅里叶展开式

由式（6）可以看出，各次谐波的幅值与极数和槽数有关，通过调整极槽数的组合，可以削弱某些次的齿顶漏磁谐波，式（6）适合单元电机为3槽2极和3槽4极类的电机。所有B、C相绕组线圈齿的齿顶漏磁形式与A相相同，只是相位相差120°。

3 齿顶漏磁的寄生影响

3.1 齿顶漏磁对反电动势的影响

近极槽永磁同步电机的气隙磁通Φ 主要分成两部分：齿顶漏磁ΦLt和链过电枢绕组的有效气隙磁通Φg。有效气隙磁通Φg可以表示为

当转子磁场旋转时，链过电枢绕组的有效气隙磁通Φg在绕组中产生运动电动势，也即反电动势，实现机电能量转换，产生转矩。电机一旦设计完成，永磁同步电机的气隙磁通Φ 就确定了，而齿顶漏磁ΦLt与转子磁极和定子齿之间的相对位置有关，齿顶漏磁的周期性波动也就引起了链过电枢绕组的有效气隙磁通Φg发生了波动。由图1可知，在图1b的位置，2齿的齿顶漏磁ΦLt最大，此时2齿处于交轴位置，当转子转过π/2角度后，气隙磁通Φ 全部进入2齿，此时2齿处于直轴位置，则可近似认为气隙磁通Φ 与齿顶漏磁通ΦLt相位相差π/2。

假设气隙磁通Φ 为所有奇次谐波组成，则

式中 θs——转子磁极轴线相对定子A相绕组轴线沿气隙圆周的夹角。

根据上述分析可知，θs与θ的关系为

式中 ωr——基波角频率。

由法拉第电磁感应定律可知，当链过电机绕组的磁通发生变化时，会在A相绕组中感应反电动势

式中 N——每相绕组串联匝数；

kwν——ν次谐波的绕组系数。

把式（5）、式（8）和式（9）代入式（10）得

式中 Emν——与气隙磁通Φ 相对应的各次反电动势谐波的幅值，Emν=νkwνNωrΦmν；

ELtν——与ΦLtν相对应的各次反电动势谐波的幅值，Emν=νkwνNωrΦLtν。

绕组系数影响了反电动势谐波的幅值大小，近极槽永磁电机的绕组系数与槽数/极数比，以及绕组层数有关。表1是部分近极槽单元永磁电机的谐波绕组系数。选择槽数与极数的配合以及绕组的层数，可以降低齿顶漏磁对反电动势波形的影响。

表1 部分近极槽单元永磁电机谐波绕组系数Tab.1 Harmonic winding factors of unit permanent magnet motor with similar pole and slot number

3.2 齿顶漏磁对转矩的影响

假设磁路不饱和，忽略电枢反应作用。若电机的定子绕组为Y型联结，没有中线，且由三相对称的正弦电流源供电。通过磁场定向控制可知，可将A相电流和感应电动势分别写为[12]

式中 Im——基波电流幅值。

电机的电磁转矩为

式中 Ωr——转子的机械角速度；

T0——平均电磁转矩；

T6，T12，…——相应次的纹波转矩幅值。

由式（15）可知平均电磁转矩T0随着齿顶漏磁的增大而降低。基波电流与齿顶漏磁引起的5次、7次谐波电动势作用，产生6次纹波转矩，与齿顶漏磁引起的13次、11次谐波电动势作用，产生12次纹波转矩，……齿顶漏磁引起的各次纹波转矩有些能削弱由气隙磁场畸变产生的纹波转矩，有些和由气隙磁场畸变产生的纹波转矩相叠加而进一步增大纹波转矩。

在近极槽永磁电机中，齿顶漏磁和由于气隙磁场畸变引起的反电动势谐波主要是5次和7次，电机设计完毕后，齿顶漏磁和气隙磁场也就固定了，其引起的6次纹波转矩脉动的幅值大小就由供电电流的幅值决定了。

3.3 案例分析

对于120槽80极单层绕组表贴式永磁电机，不考虑其他漏磁，根据式（6）和式（15），可得到平均电磁转矩和6次纹波转矩如下：

由式（16）可以看出，平均电磁转矩由于齿顶漏磁而降低了17.55%，也就是说由于齿顶漏磁而导致永磁材料的利用率只有82.45%。齿顶漏磁引起的7次和5次反电动势幅值之差为3.1%Em1，假设气隙磁场是正弦的，即Em5、Em7均等于零，齿顶漏磁引起的6次纹波转矩的峰-峰值为3ImEm1/（2Ωr）的2×3.1%。

4 有限元验证

本节以一台120槽80极单层绕组不等厚永磁磁极电机为例进行仿真验证。仿真只是为了验证齿顶漏磁引起的转矩脉动，所以没有从实用性方面去考虑电机的设计。为了消除齿槽转矩和由于开槽而导致的气隙磁场畸变的影响，电机为闭口槽。电机的相关参数见表2。

表2 电机参数Tab.2 Electric machine parameters

4.1 定子绕组开路时的齿槽转矩和气隙磁场

为了仿真计算齿顶漏磁引起的纹波转矩，必须消除齿槽转矩和气隙磁场畸变产生的6次纹波转矩，或者先计算出齿槽转矩和气隙磁场畸变产生的6次纹波转矩，然后把总的脉动转矩减去齿槽转矩和气隙磁场畸变产生的纹波转矩后就是齿顶漏磁引起的纹波转矩。120槽80极永磁电机的齿槽转矩是6次脉动转矩。根据电机学理论，闭口槽永磁电机的齿槽转矩应该为零，但由于开槽，还是会带来微小的齿槽转矩。图3是利用Ansoft有限元软件仿真的定子绕组开路、转子转过一对极时产生的齿槽转矩波形，其齿槽转矩很小，峰-峰值为0.96N·m，可忽略不计。

图4a是转子磁极在气隙中产生的气隙磁密波形图，图4b是利用Matlab软件分析的谐波含量的频谱图，由于对电机转矩起作用的主要是 1次、5次、7次谐波，为了简化分析，这里只分析1次、5次、7次谐波。由图4可看出，5次谐波幅值为基波的0.5%，7次谐波幅值为基波的0.3%，根据式（16）可知，它们引起的 6次纹波转矩只有平均转矩的0.2%。可见采用不等厚磁极后，转子在气隙中产生的磁场波形正弦度非常好，可以忽略由于气隙磁场畸变产生的纹波转矩。

图3 120槽80极永磁电机的齿槽转矩Fig.3 Cogging torque of 120-slot 80-pole PMSM

图4 气隙磁通密度与频谱图Fig.4 Air gap flux density and spectrogram

4.2 负载时的转矩及齿顶漏磁引起的转矩脉动

为了排除铁心饱和的影响，这里先利用Ansoft有限元软件计算不同电流下的平均转矩，接着再计算转矩与电流（有效值）的比值（转矩常数 kT）。在不同电流下，如果kT值基本不变，可认为在此区域内的负载电流均不会引起铁心的饱和。电机供给如式（12）所示的三相电流，Im分别为13.1×(2/16)A、13.1×(3/16)A、13.1×(4/16)A、13.1×(5/16)A，采用id=0控制策略，转矩波形如图5所示，平均转矩T0分别为82N·m、122N·m、159N·m、195N·m，脉动转矩 Tr分别为 4.34N·m、6.88N·m、8.92N·m、11N·m，转矩常数 kT分别为 70.23N·m/Arms、70.81N·m/Arms、68.64N·m/Arms、67.35N·m/Arms。前三种电流供电时，由于转矩常数kT基本相同，说明电机基本是线性的。

假设没有齿顶漏磁，根据式（16），当电流为13.1×(4/16)A 时，则平均电磁转矩 T0=3ImEm1/(2Ωr)=159/(1-17.55%)N·m=192.8N·m。实际上，齿顶漏磁是近极槽永磁电机不可克服的缺陷，不可能完全消除齿顶漏磁，只能通过槽数/极数的配合、极弧系数的选择和电机气隙直径的选择来尽量减小齿顶漏磁。

图5 电磁转矩Fig.5 Electromagnetic torque

根据电机学原理，三相对称绕组电机供给三相对称正弦电流，如果转子磁场正弦，则不会产生纹波转矩。由前述分析可知，在供电电流小于13.1×(4/16)A时，电机工作在线性状态，由于齿槽转矩非常小，此时的脉动转矩基本就是由齿顶漏磁引起的。根据电机的转速和极数，可知其供电频率为18.667Hz，周期为 53.57ms，从图 5可看出，一个供电周期，转矩有六次脉动，可见齿顶漏磁引起的脉动转矩主要是6次纹波转矩。从图5还可以可看出，纹波转矩Tr基本与供电电流成正比。如果根据式（16）计算，齿顶漏磁引起的6次纹波转矩的峰-峰值T6为平均电磁转矩的2×3.1%倍，在上述电流下，理论上的 6次纹波转矩的峰-峰值分别为5.08N·m、7.56N·m、9.8N·m、12.09N·m。比较图5和图3b可以看出，齿槽转矩与纹波转矩是反相位的，这是仿真值比理论值小的原因。上述仿真结果与理论分析基本一致，说明了分析方法的正确性。

5 结论

本文分析了近极槽配合表贴式永磁同步电机一对极下齿顶漏磁的特点，通过对一相绕组齿顶漏磁函数的傅里叶分解，得出齿顶漏磁谐波是由一系列奇次谐波组成，通过调整极数和槽数的组合可以控制某些次齿顶漏磁谐波的含量。研究了齿顶漏磁与电机反电动势的关系，从反电动势的角度发现齿顶漏磁引起的转矩脉动主要是6次纹波脉动转矩。最后通过有限元仿真，准确的计算出齿顶漏磁引起的6次纹波转矩。

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