基于假定旋转坐标的高速永磁同步电机无传感器控制

纪 历 徐龙祥

（南京航空航天大学机电学院 南京 210016）

1 引言

由电机驱动的风机、压缩机等通用流体机械是石化、环保、冶金等领域广泛应用的重要装备，这类流体机械的转速都比较高，需要增速箱和联轴器，而且主要采用机械轴承。由增速箱、联轴器和机械轴承造成功耗约占总驱动损失的 40%～50%。如果采用直驱式结构技术方案，将风机或压缩机的叶轮直接装在电机轴上，并采用磁悬浮轴承[1,2]，能够节约能源7%～10%。此外，这些设备通常采用异步电机，其效率只有94% 左右。如果采用高速永磁同步电机[3,4]，效率可达 97% 左右。因此，采用磁悬浮轴承支承的高速永磁同步电机成为近年来的研究热点之一。为了提高轻载及升速时的运行效率，永磁同步电机通常采用闭环控制，这就需要精确的转子磁极位置。传统的检测方法多采用光电编码盘等设备来测量转子的角度以及转速。这类设备不仅增加了成本，而且降低了可靠性，因此，需要借助无角度传感器控制方法（以下简称无传感器控制方法）。

在永磁同步电机的控制中，常见的无传感器控制方法有：基于数学模型的开环估计、高频信号注入法、模型参考自适应控制、状态观测器法、以及卡尔曼滤波器等。其中开环估计法[5]的准确性受电机参数影响非常大，而电机的参数在电机运行时总是处于动态变化之中，因此，估计效果不佳。高频信号注入法[6]对于没有凸极性的永磁同步电机则无能为力。至于模型参考自适应控制[7]、状态观测器法[8]、以及卡尔曼滤波器[9]等闭环估计方法虽然具有较好的稳定性以及鲁棒性，但是算法复杂，在一些对实时性要求很高的场合，如高速电机，则难以使用。

本文研究了一种基于假定旋转坐标的控制方法。该方法既无需角度传感器，也无需对转子d轴位置进行估计，就能够实现最大转矩电流比的控制，并且计算量不大，在实际应用中取得了很好的效果。

2 假定旋转坐标的思想

2.1 永磁电机的数学模型

如图1所示，d、q坐标为同步旋转坐标，同步的含义是d轴与转子的永磁励磁磁场ψf保持一致，q轴超前d轴90°电角度。图中，θr表示d轴与A轴之间的夹角，δ 表示定子电流矢量is与d轴的夹角。永磁同步电机在d、q坐标下的定子电压方程为

式中 Ud，Uq——电机电压的d、q轴分量；

id，iq—— 电机电流的d、q轴分量；

Ld，Lq—— 电机电感的d、q轴分量；

Rs—— 定子电阻；

ωr——转子电气角速度；

e0——空载电动势，e0=ωrψf。

电机的转矩方程以及运动方程为

式中 Te——电磁转矩；

pn——转子磁极对数；

ψf——永磁体磁链；

J——转子转动惯量；

B——粘滞摩擦系数；

Tl——负载转矩；

is，δ ——定子电流矢量及其与d轴的夹角[10]。

图1 永磁同步电机同步旋转坐标示意图Fig.1 Diagram of synchronous rotating frame of PMSM

2.2 假定旋转坐标系的建立

在无传感器的控制中，由于实际转子d轴位置θr是不能测得的，也就是不能获得d、q坐标系中的定子电流 id、iq以及电压 Ud、Uq，因此这个 d、q模型对于估计转子d轴位置θr和速度ωr是没有实用价值的。在这种情况下，选择了一个可控的参考坐标系x、y用于无传感器控制，其中y轴超前于x轴90°电角度。它不是同步旋转坐标系，而是定向于已知的估计位置θr′，并且可以按照确定的控制规律自行调整的坐标系，将这个坐标称为假定旋转坐标，如图2所示。图2中ωs为假定旋转坐标的转速，Δθ 表示x轴与q轴的夹角。

图2 同步旋转坐标与假定旋转坐标关系Fig.2 Relationship between synchronous rotating frame and hypothetical reference frame

高速永磁同步电机的转子通常采用一对极的对称结构，即pn=1，Ld=Lq。通过d、q坐标系下的电机方程不难推导出x、y坐标系下电机的方程，由于高速永磁电机采用对称的转子结构，取x、y轴的电感均为L，得到电机的电压和转矩方程如下[10]：

与同步旋转坐标相类似，在假定旋转坐标中可以通过控制Ux、Uy来得到旋转电流矢量is。如果将ix作为电流矢量的转矩分量，iy作为励磁分量（文中之所以将x轴作为转矩轴，是考虑到启动方便的原因）。并且使得 ix=is、iy=0、Δθ=0，且由 ix产生的转矩大小刚好克服阻力矩，那么就可以实现最大转矩电流比的控制。

3 基于假定旋转坐标的控制方法

3.1 现有方法及其不足

现有的基于假定旋转坐标的控制方法大都是基于对Δθ 的估计。因为Δθ 是假定旋转坐标的转速ωs与转子转速ωr差值的积分。若已知Δθ 或者是可以反映Δθ 信息的物理量，则可以用其来调节ωs，最终使假定旋转坐标的位置与转子位置趋向一致[11-14]。

一种简单的基于假定旋转坐标的方法是从电压方程出发对Δθ 进行估计，并将其应用到闭环控制中。具体的做法是将式（5）、式（6）变换成以下形式

因为式（8）、式（9）是由式（1）、式（2）变换而来，没有经过任何简化或者近似处理，因此它们可以准确地描述电机运行状态或动、静态特性。可以得到

从式（10）可以看出，若忽略死区效应以及逆变器的畸变，则可以通过给定电压值以及电流传感器反馈回来的电流信号准确地计算出Δθ 。但是此种估计方法归根结底是一种基于反电动势的开环估计，其估计精度受到电机参数变化以及电流检测精度的影响。文献[10]指出，在稳态情况下，为保证Δθ 的估计误差不超过5°电度角，L的偏差不能大于20%。

文献[11]提出了一种新的估计方法，思想是根据Δθ 导致的控制电压的偏差来调节ωs。从图2可以看出理想情况下假定旋转坐标的x轴与同步旋转坐标的d轴重合，e0cosΔθ=0。则通过电流环控制 ix=0（此方法ix作为励磁分量），Ux仅需要克服-ωsLiy。若 e0cosΔθ ≠0，则给定的 Ux还需要克服 e0cosΔθ 。于是将电流环中计算出的 Ux与理想情况下的 Ux作差，得到ΔU=e0cosΔθ ，其中包含了Δθ 的信息，对这一电压偏差实施PI运算就得到了ωs的修正量，用修正量去调整ωs可以使位置偏差收敛为零。相对于前一种，这种方法避免了反正切函数的计算，非常容易实现，但是需要注意的是电流环中计算出的Ux与逆变器实际输出的电压存在差异，影响控制效果。若用电压重构算法来实现对 Ux的计算则需要附加电压传感器且又复杂化了算法。

此外，现有的基于假定旋转坐标的控制方法大都是对Δθ 或者是可以反映Δθ 信息的物理量实施 PI运算以得到ωs的修正量。而 PI参数的选择至关重要，只有合适的PI参数才能使位置偏差最终收敛为零。而现有的文献中并没有具体的设计方法，PI参数的选择很大程度上依赖于调试者的经验。本文在研究现有方法的基础上，提出了一种新型的基于假定旋转坐标的控制方法。

3.2 新型假定旋转坐标法

首先，构建假定旋转坐标系。文中构建的假定旋转坐标系见 2.2节。假定旋转坐标下的电机方程如式（5）～式（7）。与一般的习惯不同，文中将x轴定义为转矩轴，y轴定义为励磁轴。于是需要达到的控制目标是iy=0、Δθ=0，且由ix产生的转矩大小刚好克服阻力矩。

从图2可以看出，当通过假定旋转坐标来控制永磁电机时，Δθ＞0表示转矩轴 x轴落后于转子 q轴，这时希望减小转子转速ωr，以使x轴赶超q轴。Δθ ＜0则x轴超前于转子q轴，希望增大ωr。而当Δθ=0时，ix全部作用在转子q轴，且感应电动势在y轴的分量e0sinΔθ 也为零。此时，只要使得iy=0，对于转子结构对称（Ld=Lq）的永磁电机，就实现了最大转矩电流比控制。因此可以根据位置偏差信息Δθ 来调节转子的转速ωr。

Δθ 无法直接测得，如3.1节中所述，若开环估计Δθ ，估计的准确性受电机参数影响很大。若使用模型参考自适应方法或是状态观测器来估计Δθ ，算法将非常复杂。因此，本文选择用包含Δθ 信息的物理量来代替Δθ 对转子的转速ωr进行调节。

令Uy=ωsLix，则式（6）可以改写成如下形式

在理想情况下Δθ=0，e0sin Δθ=0，则 iy为 0。若Δθ ≠0，则必然能够测出一个 iy，且 iy的值决定于转子反电动势 e0、位置偏差Δθ 、定子电阻 Rs以及电感L。在这四个量当中 Rs、L是定值，e0=ωrψf，对于数字化的控制系统，每一个采样周期内，由于机械时间常数远大于电气时间常数，可以认为ωr是不变的，而ψf也是常量。因此，通过式（11）可以看出在Δθ ∈[-π/2，π/2]时，iy是Δθ 的单调减函数。而iy是非常易测得的，因此，可以用iy代替Δθ 来调节转子的转速ωr。iy＜0时Δθ ＞0，转矩轴 x轴落后于转子q轴，这时减小转子转速ωr。iy＞0时Δθ ＜0则 x轴超前于转子 q轴，增大ωr。iy=0时Δθ=0，ix全部作用在转子q轴，假定旋转坐标与转子实际位置重合，实现了最大转矩电流比控制。

3.3 控制器的设计及仿真

如 3.1节所述，现有的基于假定旋转坐标的控制方法大都没有从理论上对控制器的参数选择给出具体的方案。本文以系统的稳定裕度为依据给出了控制器的设计方法。

首先，分析在平衡位置（Δθ=0）附近控制系统的稳定性。将sinΔθ 在Δθ=0处作泰勒级数展开，取一次项近似，得到 sin Δθ ≈Δθ （在Δθ=0 附近），将e0看做常量，则可以得到Δθ 与iy之间传递函数为

根据转矩方程式（7）可知，永磁电机提供的转矩与 ix、iy以及Δθ 三个变量有关。但是在平衡位置附近时Δθ ≈0，可以忽略 iysinΔθ 对电磁转矩的影响，将式（7）简化为 Te=pnψfix。由运动方程式（4）可以得到电磁转矩与转速之间的传递函数如下：

若设负载转矩 Tl为0、不考虑粘滞摩擦系数且转子为一对极结构，则可以得到永磁电机以Ux为输入iy为输出的结构图如图3所示。

图3 永磁同步电机结构图Fig.3 Structural drawing of PMSM

因为在建立数学模型的时候将e0看成常数，因此图3中系统的开环传递函数不仅与电机参数有关而且与当前转速相关。代入下表高速永磁同步电机的参数，绘制出图3系统在转速为27 000r/min时的开环对数频率特性曲线如图4所示。

表 高速永磁电机参数Tab.Parameter of high speed PMSM

图4 高速永磁同步电机开环频率特性曲线Fig.4 Open-loop frequency characteristic of high speed PMSM

从图 4中可以看出系统的幅值裕度 h(dB)=-41.2dB，相角裕度γ=-109°。可见，以图3所示的传递函数为前向通路的单位反馈系统是不稳定的，必须对其进行校正。

对于高速永磁同步电机来说，基本不存在转速的突变，不需要系统有很高的动态响应。此外，中大功率的高速永磁电机通常将定子的电阻和电感都设计得很小，这样的系统对噪声比较敏感。因此可以利用滞后网络或PI控制器对系统进行串联校正。

文中设计了串联滞后网络对系统进行校正，将校正后系统的相角裕度设定在 45°左右得到滞后网络的传递函数为

得到校正后系统的开环对数频率特性曲线如图5所示，从图中可以得到以校正系统的幅值裕度h′(dB)=15.3dB，相角裕度γ ′=43.9°，符合要求。此时闭环系统的单位阶跃响应如图6所示。

图5 校正后高速永磁同步电机开环频率特性曲线Fig.5 Open-loop frequency characteristic of high speed PMSM after correcting

图6 高速永磁同步电机闭环控制系统的单位阶跃响应Fig.6 Unit step response of closed-loop control system for high speed PMSM

为验证控制方法的正确性，在Matlab/Simulink环境下建立了基于假定旋转坐标的无传感器控制系统的仿真模型，如图7所示。其中串联滞后环节如式（14）所示，ωsLix是为了抵消式（6）中由定子电流产生的旋转电势。仿真中永磁同步电机参数见上表，仿真是在27 000r/min的仿真转速下进行的。

图7 基于假定旋转坐标的无传感器控制系统框图Fig.7 Diagram of sensorless control system based on hypothetical reference frame

仿真中，先用开环控制将电机带到27 000r/min的转速，在仿真时间10s时切换到文中设计的闭环算法，仿真波形如图8所示。图8a为转子转速的仿真波形，可以看出，在算法切换的瞬间，转子转速有一个振荡的过程，经过一段时间的调整后收敛于同步转速。算法的切换不会造成系统的发散，适当地调节控制器参数可以更好地抑制此振荡。图 8b为运行中x轴与转子q轴的夹角，即Δθ 的角度。从图中可以看出在系统稳定以后Δθ 的角度趋近于0，此时x轴与转子q轴重合，即ix全部作用在转子q轴上。两个坐标系下的电流分量的变化如图8c、8d所示，可以看出，在切换瞬间id远大于零。根据调节规律，控制器减小 ix，则 id减小，iy增大，最终使id收敛于零，与3.2节中的分析完全相同。为进一步验证，从图 8c中读出 27 000r/min时，x轴电流 ix稳定在 133.16A，此时电机提供的电磁转矩Te=pnψfix近似为15.98N·m。此时加在电机上的负载转矩 Tl设置为转速平方的 2×10-6倍，近似等于15.98N·m，两者非常接近，很好地验证了结论。

图8 无传感器控制系统仿真波形Fig.8 Simulation waveforms for the sensorless control system

图9给出了在27 000r/min的高转速下，负载转矩由15.98N·m突变至12N·m时电机的转速响应以及提供的电磁转矩的仿真波形。如图9所示，在仿真时间 50s时将负载转矩由 15.98N·m改为12N·m，可以看出，电磁转矩经过短时间的调整很好地跟踪了负载转矩，在负载突变的瞬间，转子转速以及电磁转矩出现了一段时间的振荡，可根据实际情况修改控制器参数来给予调节。

图9 负载突变时电磁转矩以及转速的响应波形Fig.9 Response of electromagnetic torque and speed when load changing

仿真过程中，可以适当增加开环增益来提高系统的收敛速度。

4 实验研究

为验证结论，文中以美国Ti公司的高性能数字信号处理器 TMS320F28335为核心设计了硬件电路。主电路结构如图10所示，其中逆变部分采用的是三相全桥式拓扑结构，功率器件选用的是德国Semikron公司的SEMIX604GB12T4S。控制器采集永磁同步电机的三相电流及逆变器的母线电压通过文中设计的控制算法对永磁同步电机进行控制。

图10 无传感器控制系统的电路结构Fig.10 Electrocircuit of sensorless control system

文中以实际的磁悬浮高速离心式鼓风机（见图11）为对象进行了验证实验。驱动鼓风机叶轮所用永磁同步电机规格参数为：额定功率 75kW；额定电压 380V；相电阻 0.15Ω；相电感 0.35mH；永磁体磁链0.12Wb；转动惯量0.003kg·m2；磁极对数为 1。以下实验波形均以美国立肯（LeCroy）公司的 WaveRunner 64Xi—A型示波器保存波形数据后在Matlab中绘制。

图11 磁悬浮高速离心式鼓风机Fig.11 High speed centrifugal blower supported by active magnet bearing

文中首先通过开环控制将电机稳定运行于27 000r/min的转速下，此时定子相电流的波形如图12所示，从图中可以读出相电流的峰峰值约为340A。在负载不变的情况下，切换到文中提出的基于假定旋转坐标的控制方法，稳定后定子相电流的波形如图13所示，其峰峰值约为300A。可见在文中的方法控制下电机在相同负载下的相电流相对于开环控制时大大减小。

图12 开环控制下27 000r/min时定子相电流波形Fig.12 Waveform of phase current using open loop control method under the speed of 27 000r/min

图13 文中方法控制下27 000r/min时定子相电流波形Fig.13 Waveform of phase current using the sensorless control strategy under the speed of 27 000r/min

为进一步验证该方法的控制效果，当电机稳定运行于27 000r/min时，将ix、iy通过D-A芯片实时输出，波形如图14所示。可见，x轴电流波形平稳，即转矩稳定，y轴电流几近为0，与控制的初衷相符。因此，可以得出结论，文中提出的基于假定旋转坐标的控制方法很好地达到了最大转矩电流比的控制效果。

图14 27 000r/min时ix、iy的电流波形Fig.14 Waveform of ix、iy under the speed of 27 000r/min

5 结论

文中提出了一种新型的基于假定旋转坐标的永磁同步电机无传感器控制方法，分析了该方法的工作原理，并通过仿真与试验对其可行性进行了验证。仿真以及试验结果均证明，文中研究的无传感器控制方法能够实现永磁同步电机的最大电流转矩比控制，且具有良好的动态性能。

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