蔡元定“因数明理”的三种方式——数学在象数易学中的作用初探

庹永

一、蔡元定“因数明理”的三种方式

宋代象数易学可分为象学派和数学派。象学派认为象在数先，有把象作为本体的倾向，代表人物有周敦颐、朱震等。数学派认为数在象先，有把数作为本体的倾向，代表人物有刘牧、邵雍等。数学派把“数”作为表征天地万物之理的符号，这个“数”不能等同于数学科学中的数字，但又确实和数字有关，其中也包含一些简单的数学运算。那么，数学（指数学科学）在数学派的理论中到底起到怎样的作用？

我们以蔡元定的象数学为例考察这个问题。蔡元定（1135-1198），字季通，学者称西山先生，福建建阳人，被誉为“朱门领袖”、“闽学干城”。他曾参与朱熹《易学启蒙》的写作，著有《律吕新书》探讨乐律问题，著有《皇极经世指要》阐发邵雍先天学。蔡元定是邵雍学说的主要继承者之一，他特别重视数的作用，并且有意模仿《周易》构建一个“数”的系统。《西山公集》引《鹤林玉露》说：“濂溪、明道、伊川、横渠之讲道盛矣，因数明理，复有一邵康节出焉；晦庵、南轩、东莱、象山之讲道盛矣，因数明理，复有一蔡西山出焉。”［1］695将蔡元定与邵雍并列，认为二人学术的特色与贡献都在于“因数明理”，即以“数”为主要的工具来阐发“理”。从数学科学的角度看，蔡元定“因数明理”有三种方式：设计模型、赋予哲理和类比关联。

（一）设计模型：为明理的需要而设计数学模型

邵雍在《皇极经世》中经常采用一种四乘四的数学模型。以对圣人地位的说明为例，《皇极经世·观物内篇》说：“士士之民一之一，士农之民一之十，士工之民一之百，士商之民一之千。农士之民十之一，农农之民十之十，农工之民十之百，农商之民十之千。工士之民百之一，工农之民百之十，工工之民百之百，工商之民百之千。商士之民千之一，商农之民千之十，商工之民千之百，商商之民千之千。”这就是将士、农、工、商四者进行排列组合，从而将民划分为十六种，同时将一、十、百、千也排列组合，与前者对应。士士之民一之一就表明这类人层次是最高的，士中之士即是圣人，这个模型很好地展现了对人的等级划分。蔡元定很看重这个模型，他评价说：“是故元会运世、春夏秋冬、生长收藏各相因而为十六，皇帝王伯、易书诗春秋、道德功力亦各相因而为十六，十六者四象相因之数也。凡天地之变化、万物之感应、古今之因革损益皆不出乎十六，十六而天地之道毕矣。”［1］635把这个模型神圣化了，认为它可以穷尽天地万物的道理。

从今天的角度看，虽然这个模型很好地表达了作者的某种观念，但其中的数学运算并不表示相关事物的任何内在规律性，数学在其中只起到了外在编号和排序的作用。这个模型几乎可以用在任何的事物上，反过来，用三乘三或者五成五等其他模型也可以表达同样的观念。邵雍之所以选择了四乘四，只不过是对应四季、四民、四象这样的传统说法。关键在于，这里不是通过数学运算推演出某个结果，而是先认定了某种观念，然后设计一个数学模型去匹配，去表达这个观念。

既然是观念在先，数学在后，蔡元定在运用数学的时候就不可避免有很强的主观性。有时为了满足已经设定好的数学模型，当其中的某一项在现实世界中有真实数据时，蔡元定会舍弃真实数据，而采用一个他认为完美的约数。比如在阐述邵雍的元会运世学说时，蔡元定将一元比作一年，元会运世之间的换算比率，正对应年月日时之间的换算比率。1元12会、1会30运、1运12世对应于 1年 12月、1月 30日、1日12辰。按照这个运算比率，1元有360运，1年有360天，1元有129600年，1年有129600时辰，蔡元定认为这都是自然规律的数学表现。但实际上当时已经知道360并不是一年的准确天数。当有人对此提出疑问：“气盈于三百六十六，朔虚于三百五十四，今经世之数概以三百六十为率，何也？”蔡元定回答：“所以藏诸用也，消息盈虚之法在其间矣。 ”［1］640何为“藏诸用”？邵雍《皇极经世·观物外篇》中谈到过这个问题：“显诸仁者，天地生万物之功，则人可得而见也。所以造万物，则人不可得而见，是藏诸用也。……显诸仁也，其度数之然，而不知其所以然，是藏诸用也。 ”［2］523-524所谓“显诸仁”的，就是可以看到的现象，比如天地万物的存在与运动、日月运行、四季更替，也就是“然”；所谓“藏诸用”的，就是不可观察的现象背后的东西，也就是“所以然”。具体到上面的例子，历法中的354天、366天，都是实际科学观测的结果，是表面现象，而360这个数字是表面看不见的，是隐藏在现象本后的更根本的原理。

可以看出来，蔡元定已经发现了数学中的简洁美，他认为万物背后的原理如果用数学来表达，肯定是具有美感的，所以把一年的天数简化为360。只是这样的操作主观性太强，依然是摆弄数字，以满足既定的设想。这样主观构想出来的天地运行原理根本不能运用到实际的历法当中，数学在这里根本没有起到表达真实规律的作用。

（二）赋予哲理：赋予某种数学现象以哲理，或者给予某种数学现象以哲学解释

蔡元定著有一部乐律学著作《律吕新书》，论及从黄钟生十一律的时候，用到了九进制：“黄钟九寸，以三分为损益，故以三历十二辰得一十七万七千一百四十七，为黄钟之实……其寸分厘毫丝之法皆用九数，故九丝为毫，九毫为厘，九厘为分，九分为寸，为黄钟。”［1］660此处所述的是三分损益法生十一律计算之前的准备工作。三分损益法，如果以黄钟的长度9寸作为计算的起始值，那么其他十一律的长度会出现不少无限小数，影响精确度。从黄钟生出十一律，2/3与4/3间隔相乘11次，最后的分母就是311。“三历十二辰”即从30=1到311=177147。所以，如果预设黄钟的长度为311，那么运算到最后311和311相除的结果是1，就避免了小数的出现。于是把黄钟的数值设定为311即177147，称为“黄钟之实”。但这个大数只是为了运算方便，它并不表示具体的长度，用它运算出的其他十一律的数值也是如此，这些数值还需要除以“寸分厘毫丝之法”才能得出长度值。“法”的具体数值《律吕新书》中有载，这里不再赘述。值得注意的是，“分厘毫丝之法皆用九数，故九丝为毫，九毫为厘，九厘为分，九分为寸”，就是说三分损益法各单位之间的换算采用的是九进制，即1寸=9分，1分=9厘，1厘=9毫，1毫=9丝。这样运算会带来一个结果，就是其运算结果的数值是以九进制形式表示的。这有一个好处，因为刚才设定的那些大数都是3的n次方，采用九进制运算，其结果就不会出现无限小数。若采用十进制运算，因为1/3=0.333…，运算结果中就会出现无限小数。所以，这里九进制的采用是为了运算的方便和结果的精确性，完全是一个数学计算上的技术问题，这一点蔡元定在《律吕新书·律吕辩证》中也有说明：“黄钟九寸以三损益，数不出九，苟不盈分者十之则其奇零无时而能尽……夫自丝以下虽非目力之所能分，然既有其数，而或一算之差，则法于此而遂变，不以约十为九之法分之则有终不可得而齐者。”［1］675采用九进制算法，其目的就是为了数值的精确。

虽然九进制的采用只是计算上的技术问题，蔡元定还是对其做出了哲学的解释，当有人问：“径围之分以十为法，而相生之分厘毫丝以九为法，何也？”蔡元定回答说：“以十为法者，天地之全数也，以九为法者，因三分损益而立也。全数者即十而取九，相生者约十而为九，即十而取九者体之所以立，约十而为九者用之所以行，体者所以定中声，用者所以生十一律也。”［1］660“以十为法”即采用十进制，是因为十是天地之全数，“以九为法”即采用九进制，是因为三分损益法计算的需要，二者之间是体用关系。十进制是体之所以立，九进制是用之所以行。以体定中声，即黄钟的尺寸是用十进制表示的，以用生十一律，即生十一律时采用的是九进制运算。这是用易学中的“天地之数”概念以及传统哲学中的“体用”范畴来解释乐律计算中出现的纯数学现象。虽然蔡元定明确说明这是技术问题，其目的是为了计算的方便和计算结果的精确性，但仍然对此给予了哲学解释。“设计模型”是观念在先，数学配合，“赋予哲理”是数学现象在先，哲理配合。

（三）类比关联：指当两种理论中出现了同样的数字时，就可以据此将二者联系起来，并对此现象做出哲学解释

当有人问：“日辰之数由天五地六错综而生，律吕之数由黄钟九寸损益而生，二者不同，至数之成则日有六甲、辰有五子为六十日，律吕有六律五声为六十调，若合符节，何也？”就是说历法中有六甲五子，律吕中有六吕五声，二者在数字上类似。日辰之数在易学看来是天地之数交错形成的，而律吕之数是由单个黄钟通过三分损益法得出来的，方法不同，但结果都是60。这二者之间看起来好像有什么联系，到底怎么回事呢？但蔡元定回答说：“夫理必有对待，数之自然者也。以天五地六合阴与阳言之，则六甲五子究于六十，其三十六为阳，二十四为阴。以黄钟九寸纪阳不纪阴言之，则六律五声究于六十，亦三十六为阳，二十四为阴。盖一阳之中又自有阴阳也，非知天地之化育者不能与于此。”［1］667蔡元定认为这个不是巧合，这是阴阳运行规律的体现，二者之所以若合符节，就是因为二者都遵循阴阳运行的规律。从现代科学的角度来看，如果两个系统出现了类似的运算结果，当然有理由对二者的关系进行研究，这种思路并无不妥。但问题在于，蔡元定不只是猜测二者之间有联系，而是直接肯定两种理论之间必然有联系，并找来现成的阴阳理论给予解释。所以，数学在这里也没有起到探索万物规律的作用，而只是一个类比联想的中介符号。

二、两点发现

其一，数学在蔡元定象数学中只是被作为一种表达“理”的象征性工具，从“设计模型”这一方式就可以看出来。蔡元定之所以选择“数”作为表达“理”的工具，表明他已经看到数学可以表达事物的规律。但在这种方式中，数学所反映的不是事物之间真实的数量关系，而只是被作为一种象征符号。这种思路，《系辞》已有，《系辞》说“乾之策二百一十有六，坤之策百四十有四，凡三百有六十，当期之日；二篇之策，万有一千五百二十，当万物之数也”，“当”就是象征，朱熹曾明确指出这一点：“二篇之策当万物之数者，不是万物尽于此数，只是取象自一而万，以万数来当万物之数耳。”［1］633所谓的万物之数不是真实万物的数量，而只不过是一种模拟和象征。

其二，数学混合在易学哲学当中，尚未独立出来。通过“赋予哲理”这一方式可以看出，在蔡元定的思考方式中，科学思维与哲学思维是混同的，他不能接受在哲学上找不到依据的纯粹科学现象，或者说，他不会仅仅去描述纯粹科学或技术的现象而不追问背后的根据。这是一种事实与价值合一的整体性思维。整体性思维在今天很有价值，有助于提醒人们对科学进行价值引导。但需要指出的是，蔡元定并不是从技术出发，深入反思其价值依据，他只是拿一些现成的理论去搭配要解释的现象，采用的只是简单的联想、类比思维。在“类比关联”这一方式中，蔡元定所运用的也只是简单的类比思维。要形成数学科学，没有严密的逻辑思维是不可能的。

[1]蔡元定.西山公集[C].四库全书存目丛书·集部346册.济南：齐鲁书社，1997.

[2]邵雍.皇极经世书[M].郑州：中州古籍出版社，2007.