论创新教育在《复变函数与积分变换》课程中的实践

霍颖莹 田凤 钟婵燕

广东工业大学应用数学学院， 广东 广州 510520

论创新教育在《复变函数与积分变换》课程中的实践

霍颖莹 田凤 钟婵燕

广东工业大学应用数学学院， 广东 广州 510520

本文主要介绍创新教育在新世纪教育下的含义，用大量的例子对在复变函数教学中培养学生创新精神和创新能力进行探讨。

创新教育；复变函数与积分变换；创新能力

innovation education；complex analysis and integral transformation；innovative ability

创新教育是社会教育事业的重要组成。创新意识和创造能力是民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的源泉，是推动科技发展的驱动力。江泽民同志指出：“要迎接科学技术突飞猛进和知识经济迅速兴起的挑战，最主要是坚持创新；创新是一个民族兴起的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。”因此实施创新教育是每一位教学工作者当前一项重要的任务。要实施创新教育首先要理解什么是创新教育。本文主要就对创新教育的理解和它在复变函数与积分变换教学中实施谈谈自己的思考。

1 创新教育的内涵

所谓创新，根据《现代汉语小词典》的是指：“抛开旧的，创造新的。”什么是创新教育？简而言之[1]，创新教育是以培养人的创新意识、创新精神、创新能力和创新人格为基本价值取向的教育实践。是以培养创新型人才为主要目标的教育。具体地说，就是根据创新原理，以创新意识、创新精神、创新能力和创新人格培养为主要内容，选择创新性的教育手段和方法，培养创新型人才的教育理论和实践。创新意识和创新精神的培养是创新教育的基础，创新能力的培养是创新教育的核心，创新人格培养是创新教育的关键。而创新型人才的培养则是创新教育的最终目的。

要培养创新型人才要注意观念的转变。在教学过程中注意遵循主体性原则和平等民主原则。课堂是师生间交流情感的场所，教师应该以学生为主体，建立一种民主无权威的教学环境，把发现真理的主动权交给学生，让学生觉得“我要学”，并鼓励学生讨论、质疑和发表见解，破除学生对教师的迷信，引导学生思考。只有这样，学生的创新能力才能被激发出来。

2 创新是复变函数与积分变换教学的重要组成部分

就工科专业课程复变函数与积分变换本身而言，它就是创新的再现。复变函数是在实变函数基础上的创新。复变量函数是二元实函数的发展。虽然课程仍然讨论函数是否连续，可导，如何积分，但连续已经变成两个二元函数的连续，函数是否可导也变成了要求更高的以解析区分函数。也正因为对函数有更高的要求，积分除了可用第二类曲线积分计算外，还有新的一系列的柯西积分法，在柯西积分法的基础上继续发展出了围道积分，而围道积分又可以解决一些复杂的实积分。积分变换中，傅里叶积分是傅里叶级数的发展，而傅里叶积分却具有局限性因而发展出拉普拉斯变换。学生在学习过程中每向前一步都看到创新。

3 创新教育在复变函数与积分变换教学的实施

3.1 课前发放教案培养学生自学能力

高校学生即将步入社会，仅靠学校的“一次教育”远远满足不了社会的需求，要不断提升就要接受“终身教育”。而且学生已经具有较强的自学能力，在教学过程中，笔者发现总有部分学生对教材有浓厚的兴趣，提前看完教材并提出见解。复变函数与积分变换这门课除了定义、公式、定理外，更重要的是蕴含着许多深刻的数学思想和方法，课前发放学案可鼓励更多的学生自主学习独立思考，而不是为了过关拿学分死记公式。

由于学案有明确的学习目标，重点难点，还有指导方法和供学生研究的参考文献。有了学案，本来喜爱本学科的学生就能在课前以学习目标为依据，以重点难点为主攻方向，主动查找教材、参考文献，思考问题，探究问题，在探究中获取知识，而不是被动接受知识。

学案不同于教案。学案是学生进行探究知识的载体，教学生探究知识，应编写在前；而教案是教师对学案所提知识的处理和升华，应编写在后。编写学案时要注意两点：一是以学生为主体，第多斯惠曾提出：“一个坏的教师奉送真理，一个好的教师则教人发现真理”，所以应把“发现真理”的主动权交给学生。由于学生的知识水平不同，编写学案应以学生能解决问题为出发点，这样才能激发学生的学习兴趣。二是所设计的问题应是应该对学生的能力有提高，方法的形成有价值。由于数学知识是纵横成框架的，应尽量从旧知识中让学生发现新问题，思考问题和探讨，从而达到“温故而知新”。例如，在讲解柯西定理前，可让学生先用第二类曲线计算做一些函数在不同的闭曲线上的积分，引导学生提出问题为何有些积分与路径有关有些无关？学生会注意到被积函数的不同，不妨多举例子，由于在学习积分前一章学生学习了解析函数，学生自然想到可能与被积函数是否解析有关。但由于柯西定理的古萨证明比较复杂，根据学生的实际情况一般无法证明自己的猜想。不妨引导学生退一步：在第二类曲线积分中是否有类似问题？学生通过查找高数书能回忆起格林公式。最后让学生回忆起高数中积分与路径无关的等价条件就能得到加强条件后的柯西定理。这样，就能立足于旧知识让学生发现并证明加强条件后的柯西定理。当然，可鼓励部分学有余力的学生在课后查找柯西定理的古萨证明。

3.2 教学中培养学生的创新思维

创新能力是创新人才的智慧资源，由创新意识、创新思维、创新技能三大要素构成，其中创新思维是人的创新能力形成的核心与关键。创新思维就是不受现成的常规思路约束，寻求问题全新的独特性的解答和方法的思维过程。当然，创新思维形式有多种，主要包括：观察、联想、具体、抽象、发散、收敛、推广（收缩）、归纳、类比、奇巧、多维、质疑等。下面仅从复变函数与积分变换教学中举出例子。

发散性思维它是一种重要的创造性思维。在教学过程中，我们应该经常使用一题多解、一题多变等方式去引导学生发散式地思考问题，利用章节的小结去训练学生对同一问题从不同方向去思考，多角度去观察，尽量探索出多种解法。它不但能激发学生的学习兴趣，帮助学生加深对所学知识的理解，拓宽学生的解题思路，而且能给学生创造广阔的思维空间，引导学生对问题引申推广，培养学生的发散性思维。例如，在讲完利用留数定理计算积分后，让学生做一道积分的练习，题目既可用复合闭路定理和柯西积分定理，也可用洛朗展开式中负一次幂系数，更可用留数定理，鼓励学生用不同方法求解，并思考几种方法的关系。

复变函数是高等数学的后续课程，在学习过程中比较两者的相似之处，可加深学生对概念的理解又能启发学生的类比思维。例如，在讲解复变量函数时可提到它与实二元函数的关系。由于我校学生复变函数和高等数学多元函数部分在同一学期学习，学生容易把两部分混淆，结合两部分讲可加深印象。在讲解函数可导充要条件时，我会提到复变量复值函数是由一对有序的二元函数对构成，它连续的充要条件是相应的二元函数连续，它可导的充要条件是否相应的二元函数可导？然后举出反例，引起学生注意并开始思考复函数可导的充要条件，接着再开始转入正题。在讲解拉普拉斯变换时也同样可以让学生自己通过互相讨论归纳总结它与傅立叶变换的异同。

在讲述多值函数部分，学生常常觉得抽象难懂。这时可启发学生的联想思维，把复杂问题简单化，把抽象问题形象化。如二值函数可比作两层楼房，而分支点便是连接楼房的旋转楼梯。绕分支点走一周，便可由楼房的一层走到另一层，拆掉楼梯，楼房就变成独立的两层。

除此之外，在教学中还可以帮助学生建构起其它类型的创造思维，以便学生运用到其专业领域，这里不再一一叙述。

3.3 课后实施分层作业调动学生积极性

由于高等学校一般实行大班上课，即授课班级学生人数从一百到两百甚至更多，就个体水平来说有明显差异，而复变函数与积分变换由不是学校统一时间上课，不可能实现分层教学。所以，如何针对学生的个体情况，进行按需求教学仍是探讨的关键问题，作者认为实施分层作业是解决问题的可行方法。

作业是教学的基本环节，有助于所学知识的巩固、深化，有益于技能、智力和创造等才能的发展，是提高学生素质的重要载体。但传统的作业布置，教师往往要求学生在一定的时间内完成同一的内容，期望达到同一的效果，忽视了学生的个性特点和学习目标的差异性。分层作业是以学生为本，针对各层次学生的目标要求和具体情况，适当设计一些难易有别、梯度不一的习题，以满足不同层次学生的不同需求。分层作业就像是把过去同样内容、同样标准、同样模式、同样分量的“大锅饭”改为几种量身定制的“套餐”，学生可以根据自己的实际水平选择不同层次的作业。分层作业是一种有必要尝试。

分层作业需要面向全体学生，它要求教师知晓不同学生所处的学习层次，在布置作业时莫打击学生的积极性，在授课班中尝试实施作业的分层布置，对作业量、作业难度和作业方式作出适当的调整，力争让每个学生在适合自己的作业中都收获成功，得到轻松、愉快、满足的心理体验。发展性教学理论认为“差异是一种资源”，故对作业的认识，应该突破以往的框架，根据学生的发展状况，构建不同的作业形式。作业布置，既要注意选择那些有助于学生理解基本概念和基本思想方法的习题，也要注意选择那些具有应用性和趣味性的习题。这样有助于启发学生思维，调动他们的学习积极性，使他们更好掌握所学知识。在实际教学中，要先熟悉学生知识水平的层次、专业知识特点和学习目标，布置不同层次的作业。作业的布置，不在乎“量”，而在于“质”。传统的作业布置告诉我们，作业“一刀切”，过难或过易，缺少层次，不利于不同类型的学生，尤其是差生与优等生的发展。因此，教师在布置作业时要注意照顾到好（准备考研）、中（对数学感兴趣）、差（数学基础不好）三方面的学生，既让差生跳一跳能摘到“桃子”，又能保证优等生免受“饥饿”之苦。这样，可以使优等生激发挑战自我的好胜心，发挥创造性；令中等生获得从探索中成功的喜悦，对学习不敢松懈；让差生经过勤奋努力尝到成功的滋味，对接下来的学习充满信心，避免抄袭现象。分层作业有利于因材施教，充分考虑到不同个体的需要，全面照顾不同个体的发展，提高作业完成效率。实施复变函数与积分变换分层作业是有必要的。

作业可以分为三个层次：A.对反映教学大纲基本要求的基础型习题，要求全体学生必须自主完成；B.对反映教学大纲较高要求（与学生专业知识相关）的典型习题，要求中、高层次特别是中层次的学生，通过互相讨论或分组合作完成；C.对反映教学大纲难点的灵活型习题，要求学习成绩较好的学生尝试完成，当然也鼓励其他层次的学生量力而行去试一试。上面三个作业层次内容的比例大概控制在7：2：1，这样既可以保证让学生达到教学大纲要求，又可以拓宽学生的知识面,培养学生合作能力和创新能力，更为一部分同学的继续深造打下一定基础。分层作业要紧紧把握住：“分层不分班，上下可浮动”的原则。作业层次并不是固定不变的，让学生在完成基本的A类作业的基础上，自主选择适合自己的作业，差生也可选择完成B，C类作业，调动学生的学习积极性，使各层次学生力争向上。作业的分层给学生提供了自主选择的机会，让他们自评自己处于哪个水平，并选择与该水平相对应的作业，让学生真正成为学习的主人，然后教师再做适当的调节。教师要给学生充分的选择，因为人只有干他所能干的、愿意干的、想干的事时，才会表现出主动性和积极性，这也是教育呼唤的民主。

创新教育的探索与实践使我们意识到21世纪创新型人才的培养关系到学生个人的可持续发展，是世界教育发展的主流，是国家和民族进步的需要。所以我们要树立正确的教育观念，努力提高自身的创新能力，在教学中以培养创新型人才为目标和教学原则，坚定方向，不断努力，一定可以培养出一批优秀的、具有创新能力的栋梁之才。

[1] 阎立铎.创新教育：面向21 世纪我国教育改革与发展的扶持[M].北京：教育科学出版社，1999

[2]高慎英,刘良华.有效教学论[M].广东：广东教育出版社,2004

[3]西安交通大学高等数学教研室，复变函数（第四版）[M],北京：高等教育出版社，2008

[4]张元林.积分变换（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2009

[5]杨曼英, 高等学校创新教育内涵和定位[J].高等教育研究，2011，12：69～71

[6]廖永志,刘涛, 高等数学分层次教学模式刍议[J].中国成人教育，2007，8：143～144

[7] 刘孝书,王秋亮，创新教育在《复变函数和积分变换》教学中的应用[J].科技信息，2010，24：31-33

Study on the implement of the innovation education in the teaching of complex analysis and integral transformation

Yingying Huo，Feng Tian，Chanyan Zhong
Faculty of Applied Mathematics, Guangdong University of Technology, Guangzhou,510520

In this paper, the meaning of the innovation education will be introduced. And lots of examples will be given for its implement in the teaching of complex analysis and integral transformation.

10.3969/j.issn.1001-8972.2012.07.163

广东工业大学高教研究基金（2010F19）