基于一种三谱线插值的间谐波分析方法

梁志瑞，季 冰，牛胜锁

(新能源电力系统国家重点实验室 华北电力大学，河北 保定 071003)

0 引言

随着现代科学技术的发展，各种电力电子装置正在被大量使用，非线性负荷在电力系统中的应用越来越广泛，电力系统谐波和间谐波 (包括次谐波)污染日益严重。随着电机驱动与变换器容量的增大，间谐波的存在越来越引起人们的重视[1]。间谐波在IEC61000-2-1的定义为:在电压和电流信号的谐波之间存在着频率与基波频率不成整数倍关系的信号[2]。产生间谐波的装置有直流联接类型的大型调速设备、变频器、Krajner驱动设备、牵引驱动设备，尤其是那些使用三相交流电动机的牵引驱动设备以及高压直流输电系统等。频率高于基波频率的间谐波会干扰音频设备正常工作，引起感应电机噪声和振动等，频率低于基波频率的间谐波会引起电压闪变，低频继电器的异常运行等。间谐波的另一严重影响是会导致现有的谐波补偿装置失效，甚至损坏[3，4]。因此，有效监测间谐波成为了专家和学者越来越关注的问题。

快速傅里叶变换 (Fast Fourier Transformation，FFT)法是最常用的谐波分析工具，但是应用FFT进行谐波分析时，容易造成频谱泄漏和栅栏效应，造成测量误差，难以满足精度要求。尤其是间谐波，容易被泄漏的频谱淹没[5]。所以需要对FFT方法进行改进。对于频谱泄漏，通常通过加窗函数进行解决。解决栅栏效应的方法是插值。在谐波与间谐波检测中，常用的插值方法有单谱线插值、三次样条插值和最普遍应用的双谱线插值[6～10]。双谱线插值在修正过程中用了幅值最大的两根谱线，但在FFT的结果中，拥有较大幅值的谱线往往不只两根。将这些拥有较大幅值的谱线加权应用于结果修正中，会保证更高的精度。因此本文提出了一种基于三谱线插值的间谐波分析方法，通过仿真验证了其可行性。

1 三谱线插值算法原理

以单一频率信号为例进行分析，对单一频率信号x(t)以采样频率fs均匀采样后，得到离散时间信号，对此信号加窗后，忽略负频点处谱峰旁瓣影响，加窗序列xw(n)=x(n)w(n)的离散傅里叶变换表达式为:式中:N为采样点数;f0为信号频率;A0为信号幅值;φ0为初相位;fs为采样频率。

信号如果是被非同步采样，则峰值频率f0=k0Δf不会在离散谱线频点上。常用的单、双谱线插值，只考虑了幅值最大的1，2根谱线信息，但通过对信号的FFT分析结果可知，在峰值谱线附近的3，4根谱线的幅值都比较大，这些谱线的信息都应该用于插值修正，只是在修正过程中的加权权重有所不同。如果选取参考的谱线过多，当Δf较大时，两个检测频率之间的谱线根数会较小，这时参考谱线会受谐波和间谐波谱线泄漏的互相干扰，特别是间谐波的谱线完全被淹没，没有应用价值。但减小Δf会增加信号的采样周期。一般采样周期超过10个，系统的谐波情况可能就会发生变化，这时就会失去即时性意义。所以IEC 61000-4-7∶2002 标准[9]规定采样10 个整周期。文献[10]选取的采样周期为27个，远超过这一数字，因此实时效果有待商榷。在保证采样周期数的前提下，参考谱线过多反而会受频谱之间的影响而增大误差。因此选取最大的三根参考谱线进行插值。

设峰值谱线k0附近幅值最大的谱线为k1，k1左边的谱线为k2，右边的谱线为k3，其幅值分别对应为的范围为

可以求得:

其反函数为 α=h－1(β)，由 β可得 α，频率修正公式为:

初相位修正公式为:

幅值修正中，三谱线插值会把y1，y2，y3用于幅值修正，由于三根谱线幅值大小不等，所以需要对三根谱线幅值进行加权平均计算得到实际峰值点幅值。由于谱线k1为峰值点附近幅值最大的谱线，因此加权时对k1的幅值y1予以较大权重。经过对比试验，三根谱线的权值比为1∶2∶1。

由式 (1)得

进而有:

由式 (5)得:

N值若较大，则上式可以简化为:

2 基于三种四项余弦组合窗的三谱线插值分析

加窗插值FFT算法的性能受窗函数的影响较大，不同窗函数抑制频谱泄漏的程度和插值公式的计算复杂度都有所不同。所以，选择合适的窗函数能够减小算法的计算复杂度和提高算法的谐波分析精度。理想的窗函数应具有主瓣宽度窄、最大旁瓣低和旁瓣衰减速度快的特点[11]。

组合余弦窗的频谱简单，因而应用最为普遍。其一般表达式为:

式中:N为窗长度;M为余弦组合窗函数的项数;am为系数。M和am的取值不同，决定了不同的余弦组合窗函数。

性能优良的已知余弦组合窗函数有Hanning窗、Hamming 窗、Blackman 窗、Nuttall窗、Blackman-Harris(B-H)窗和Rife-Vincent窗 (RH窗)等[12～15]。这些窗函数在电网谐波分析中得到了广泛应用。在组合窗项数选取上，P值越大，最大旁瓣的电平值越低，旁瓣衰减速度也越大，但是相应的主瓣宽度也会增大，从而影响频率分辨率。由于间谐波的频带是分布在整次谐波之间，有些频率更是较接近成分较高的整数次谐波。频率分辨率低，FFT结果中间谐波对应的谱线会被整次谐波泄漏谱线淹没，无法得到间谐波的准切信息，无论如何进行修正，得到的间谐波信息都是错误的。这样测量谐波精度很高的9项余弦组合窗等项数大的窗函数就无法用于间谐波分析。本文中选取的余弦窗项数为4。选取了4项余弦窗中典型的3种窗函数:旁瓣衰减最快4项窗、主瓣宽度最小的B-H窗、最小旁瓣4项窗进行分析。

3种典型4项窗的系数如表1所示。

表1 三类窗函数系数Tab.1 Coefficients of the three types window

3种窗函数幅频特性图如图1～3所示。

图1 四项旁瓣衰减最快窗幅频特性Fig.1 Amplitude-frequency characteristic of four terms maximum side-lobe decay speed window

3种窗函数的旁瓣特性如表2所示。

表2 旁瓣特性Tab.2 Side-lobe characteristics

3种所选窗函数都具备了典型的特点，B-H窗主瓣相对最小，旁瓣衰减最快窗衰减速率最大，最小旁瓣窗能量最集中在主瓣。后文将仿真验证3种典型窗检测间谐波的能力。

在式 (1)中，窗函数的离散傅里叶变换W(k)的表达式为:

将式 (9)分别代入式 (2)和式 (6)，令α在[－0.5，0.5]内取值 (注:由于MATLAB软件的运算特性，－0.5，0，0.5三个点处会造成分母为零不能运算，故取值时应将这三个点去掉)利用MATLAB中的拟合函数polyfit，可以得到式(2)反函数以及式 (7)的拟合多项式为:

3 间谐波分析仿真

当系统间谐波检测出现如下两种情况时，间谐波结果会出现较大的偏差:

(1)间谐波频率分布接近整次谐波，尤其是接近基波时，间谐波谱线会被完全淹没，减小Δf改变分辨率的做法虽然会使测量精确，但是会增加采样周期数导致失去即时分析的意义。

(2)当系统存在一定程度的噪声时，噪声对间谐波检测的干扰。

因此对这两种情况下的模型进行分析。

3.1 间谐波频率接近基波时的仿真对比

设一个含有30 Hz间谐波和基波的简单信号为:x(n)=3sin(2π ×30n+0.5)+100sin(2π ×50.2n+1)，n=0，1，…，128，基波频率取为50.2 Hz。这时使用三种四项窗做三谱线插值的频率、幅值、相位修正结果相对误差 (%)如表3所示。

表3 30Hz间谐波信号测量结果Tab.3 Measurement results of sign with inter-harmonics at 30Hz 相对误差%

从表3结果中可见，当间谐波频率较接近基波时，虽然衰减最快窗对基波的修正频率较另两种窗函数更准确，但由于旁瓣较大，能量相对不集中在主瓣，导致间谐波谱线淹没情况较严重，尤其是相位误差很大。因此在本文中不再选用4项旁瓣衰减最快窗进行分析。而B-H窗与四项最小旁瓣窗由于旁瓣低，能量集中在主瓣，所以淹没情况并不严重。

3.2 含噪声综合信号仿真

这里构造一个含有三、五、七、九、十一次整数谐波和五种频率的间谐波假设信号为:

由于电网频率的允许波动范围为50±0.2 Hz，因此基波频率 f1选取50.2 Hz，采样频率 fs=2 560 Hz，采样点数为512点，噪声项e(n)为高斯白噪声，信噪比为30 dB。谐波相位采取的是弧度制，谐波与间谐波成分如表4所示。

表4 各次谐波及间谐波成分Tab.4 Composition of harmonics and inter-harmonics

本文对加四项余弦最小旁瓣窗、Blackman-Harris窗的三谱线插值法以及加这两种窗函数的双谱线插值法的四种情况的修正结果进行了分析，频率、幅值、相位的相对误差结果 (%)分别如表5、表6、表7所示。

表5 三谱线插值与双谱线插值频率修正相对误差对比Tab.5 Comparison of relative error about frequencies between dual interpolation and triple interpolation%

表6 三谱线插值与双谱线插值幅值修正相对误差对比Tab.6 Comparison of relative error about amplitudes between dual interpolation and triple interpolation%

表7 三谱线插值与双谱线插值相位修正相对误差对比Tab.7 Comparison of relative error about phases between dual interpolation and triple interpolation%

3.3 结果分析

间谐波测量的窗函数选取上，最大旁瓣低，能量集中分布在主瓣的窗函数在间谐波分量的测量上的精度高于其他窗函数。

系统含有白噪声，间谐波分量有较接近整数次谐波并且采样周期保持在10个的情况下，加BH窗以及四项最小旁瓣余弦组合窗的三谱线插值仍能保证一定的精度，传统的双谱线插值误差超过国标要求的0.2%[16]，已经不能满足精度要求。以幅值误差为例，B-H窗和最小旁瓣四项窗双谱线插值和三谱线插值的误差绝对值曲线对比如图4所示。可以看到，三谱线插值的准确性要远优于双谱线插值。

图4 两种插值幅值相对误差对比Fig.4 Comparison of relative error about amplitudes between two interpolated theory

4 结论

本文提出了一种基于三谱线插值的间谐波分析方法，选取了四项余弦组合窗中的三种典型窗函数，分别对间谐波接近基波频率、系统中有噪声分量的综合信号两种情况进行了仿真。窗函数的选取上，最大旁瓣较低能量集中的窗函数可以较好地避免间谐波谱线被淹没。针对电力系统谐波分析即时性的要求，按IEC 61000-4-7∶2002标准设计的采样周期为10个，远小于一般文献中的采样周期。在计及被测信号含有噪声干扰情况下，配合所选的两种窗函数，三谱线插值仍能保证测量精度，既满足了测量的精度要求，又满足了系统的即时分析要求。