相干宽带线性调频信号的波达方向估计新方法

罗蓬，刘开华，于洁潇，马永涛

（天津大学 电子信息工程学院，天津 300072）

1 引言

线性调频（LFM, linear frequency modulation）信号在雷达、声纳、通信等信息系统中有着广泛的应用，针对这类信号的波达方向（DOA, direction of arrival）估计问题也日益受到人们的重视。由于LFM信号具有宽带非平稳的特性，其阵列方向矩阵与时间相关，因此常规的子空间算法不再适用于这类信号的DOA估计。近年来，将信号的时频特征和空域信息相结合的时频空算法成为该领域一个研究热点。沿着这个方向已经出现了一些研究成果[1～3]，其中以国内学者陶然、齐林等提出的基于分数阶Fourier变换（FrFT, fractional Fourier transform）的LFM信号DOA估计方法[4～6]最受关注。由于FrFT是一种线性变换，不受交叉项的干扰，而且可以理解为LFM基分解[7]，因此在对LFM信号的处理上比其他时频变换方法更有优势。

传统的基于FrFT的估计方法利用LFM信号在特定的分数阶 Fourier域上达到能量聚集的特点，提取阵列上各入射信号的 FrFT峰值组成空间时频分布矩阵，然后结合MUSIC、ESPRIT等信号子空间算法实现DOA估计。然而，在相干信号情况下，由于各LFM信号的参数相同，因此在分数阶Fourier域峰值提取过程中很难区分不同的入射信号，导致DOA估计困难。文献[8]和文献[9]分别将前/后向空间平滑以及矩阵重构技术引入分数阶 Fourier域，实现相干LFM信号的DOA估计。但是上述方法仅选取各阵元上的FrFT峰值点数据参与DOA估计的运算，数据利用率较低，导致算法的稳定性和抗噪声畸变的能力降低。

本文对LFM信号在2个特殊的分数阶Fourier域上的时频特性进行了深入研究，提出了一种相干宽带LFM信号的DOA估计新方法。该方法在相干LFM信号的解线调域上建立起新的阵列数据模型，并结合 Toeplitz矩阵重构以及 MUSIC算法实现DOA估计。若同时存在多组相干LFM信号入射，则首先在不同的能量聚集域上将各信号组分离，然后逐一进行各组内相干信号的DOA估计。该方法充分地挖掘了观测信号所包含的时频信息，增加了可检测的DOA数目，提高了算法的分辨性能和抗噪声性能。另外，由于该方法未采用空间平滑类解相干算法，因此不受阵列流型的限制，且无冗余阵元与孔径损失。通过分析可知，当存在 G个相干LFM信号组时，使用M阵元的阵列最多可估计出的DOA数目多达G(M-1)个。文章的最后给出了该方法的实施步骤，并通过仿真实验验证了其良好的估计性能。

2 LFM信号的解线调域和能量聚集域FrFT分析

一个单分量LFM信号可以表示为

其中，a0、φ0、f0和μ0分别代表信号的幅度、初相、中心频率以及调频率。一个有限长 LFM 信号在时频平面上呈现斜直线的背鳍形分布[10]，且直线的斜率等于信号的调频率，如图1所示。

图1 有限长LFM信号的WVD

一个信号x(t)的旋转角度为α的FrFT定义为

其中，p为FrFT的阶，可以为任意实数，α = pπ/2，Kα(t, u)为变换核函数，有

FrFT可以被解释为时频平面上的旋转算子，即一个信号的FrFT的WVD是原信号WVD的坐标旋转形式[7]。

对于图 1，随着坐标轴的不断旋转，存在 2个特殊的分数阶 Fourier域，在这 2个域中，该LFM 信号的 WVD分别呈现水平分布和垂直分布。这2个分数阶Fourier域分别定义为该LFM信号的解线调域和能量聚集域，相应的FrFT变换角度分别为

根据文献[11]给出的结论，式(1)给出的LFM信号的FrFT为

将LFM信号的解线调域FrFT变换角度代入上式并化简，得

其中

为一个常数。通过上式可知，对一个LFM信号进行解线调域FrFT，可以将该信号解调为一个单频信号，且该信号的频率为

将LFM信号的能量聚集域FrFT变换角度代入式(6)，并根据极限

化简可得

其中

为一个常数。通过上式可知，对一个LFM信号进行能量聚集域FrFT，将得到一个冲击脉冲，且该脉冲的位置为

另外，由于αd和αe存在关系

根据FrFT的旋转可加性，有以下等式成立

即LFM信号的解线调域FrFT和能量聚集域FrFT之间存在一个Fourier变换的关系。

3 提出的相干LFM信号DOA估计方法

3.1 阵列模型和基本假设

假设均匀线阵（ULA, uniform linear array）由M个各向同性阵元组成，阵元间隔为d，将第一个阵元设为参考阵元。远场有G组相干LFM信号入射到阵列上，其中，第i个信号组包含gi路相干LFM信号，其波达方向分别为{θi1, θi2, …, θigi}，该信号组可以看作是由同一信源经过不同的路径衰减产生，其表达式为

其中

可见，相干信号组内的各LFM信号具有相同的调频率和中心频率，即在时频面上的分布相同。于是，第m个阵元上的观测信号可以表示为

其中，nm(t)表示第m个阵元上的噪声。表示第i组第k个LFM信号在第m个阵元和参考阵元之间的传播延时，即

对式(19)所示的阵列模型做出以下几点假设：

1) 各相干LFM信号组si(t), i=1, 2, …, G之间相互独立；

2) 相干LFM信号组内的各路信号仅有幅度和相位的差别，即路径衰减量cik为常数。组内的相干LFM信号个数不超过阵元个数，即gi＜M；

3) 各阵元上的噪声是加性高斯白噪声。不同阵元上的噪声互不相关，噪声与信号也互不相关。

3.2 相干LFM信号组内的DOA估计

以第i个相干LFM信号组为例，组内第k个LFM信号在参考阵元上的输出为

对sik(t)进行角度为αd=arctanμi的解线调域FrFT将得到

其中

由于 LFM 信号经过延时后调频率不变，因此延时信号的解线调域变换角度也保持不变。根据FrFT的时移性质[11]：

因此式(25)可以化简为

比较式(22)和式(27)，可得第k个LFM信号在参考阵元和第 m个阵元上的解线调域输出之间的关系：

其中

将整个阵列的解线调域时频输出表示为向量形式：

其中

为第i组相干LFM信号的解线调域FrFT向量，通过前面的分析可知，该组相干 LFM 信号已被解调为一组相干单频信号。Ai为 M ×gi维的解线调域方向矩阵，具有以下形式：

其中

为了实现组内各条路径上的DOA估计，定义如下的相关函数：

其中，Ai(m), m=1, 2, …, M为方向矩阵Ai的第m行的所有元素。对于上式，当m由1变到M时，由这M个相关函数构成如下形式的相关矩阵

可以看出，Ri是MM×阶的Hermitian Toeplitz矩阵，包含了信号组内全部gi个相干信号的信息。对Ri进行特征值分解，得到噪声子空间对应的特征向量矩阵 UN，然后构造如下的 MUSIC空间谱函数：

对上式进行一维谱峰搜索，即可实现第i个相干LFM信号组内各条路径上的DOA估计。

3.3 不同相干LFM信号组的分离

上一节给出了相干LFM信号组内的DOA估计方法，本节主要讨论多个相干 LFM 信号组之间的分离方法。根据式(19)可知，参考阵元上的观测信号可以表示为

其中

为第i个相干信号组在参考阵元上的输出，显然该输出也是一个LFM信号。对式(37)进行连续变化阶次的 FrFT，形成观测信号在参数(α, u)平面上的二维能量谱，对该能量谱进行谱峰搜索，即可获得各相干LFM信号组的能量聚集域变换角度αi以及谱峰坐标ui。

记式(37)的关于角度 αi的 FrFT为 Xαi(u)，根据前面的分析，在第i组相干LFM信号的能量聚集域，该信号组呈现出明显的尖峰，其他各组信号的能量分布则较为分散。在此分数阶Fourier域上，以尖峰位置ui进行遮隔处理，即使Xαi(u)通过一个中心频率为ui的窄带滤波器，通过适当地选择滤波器的带宽L，即可实现参考阵元上第i个相干LFM信号组的分离。此过程如图2所示。

图2 相干LFM信号组的能量聚集域分离

在参考阵元之外的各个阵元上，由于延时不改变 LFM信号的调频率，因此各信号组的能量聚集域变换角度也保持不变，仍可按前述之方法对各信号组进行分离。需要注意的是，由于组内各 LFM信号的入射角各不相同，因此它们的阵元延时也不相同，导致它们在能量聚集域的谱峰位置不再严格聚集于一点，此时需要对滤波器的宽度L进行调整，以保证完整分离出组内的所有信号。

利用上述方法，可以从各阵元上的观测信号中分离出某一相干 LFM 信号组，得到该组信号的能量聚集域阵列输出。利用式(15)，将该输出转化到解线调域，继而可以通过3.2节的方法实现组内各条路径上的DOA估计。通过上述分析可知，当存在G个相干LFM信号组时，使用M阵元的阵列最多可估计出的DOA数目为G(M-1)个。

3.4 算法的实施步骤和细节

总结以上的分析，将算法的主要步骤归纳如下：

1) 对参考阵元上的接收信号进行连续变化阶次的 FrFT，并对(α, u)平面做二维搜索，通过谱峰个数估计出相干信号组的个数，并记录各信号组对应的谱峰位置(αi, ui)；

2) 取各个阵元上接收信号的关于αi的FrFT，以谱峰点为中心，利用长度为L的带通滤波器进行滤波，并对滤波后的数据进行FFT，得到阵列上的一组相干单频信号数据；

3) 构造式(35)所示的相关矩阵，并对其进行特征值分解，利用所得的噪声子空间特征向量矩阵构造MUSIC空间谱函数Pi(θ)；

4) 对Pi(θ)进行一维谱峰搜索，即可估计出第i个相干LFM信号组内各条路径上的DOA；

5) 重复步骤2)～步骤4)，直至估计出所有信号组所包含的相干LFM信号的DOA；

6) 若只有一组相干LFM信号入射，则直接对各阵元上的观测数据进行解线调域FrFT，然后利用步骤3)～步骤4)实现各相干信号的DOA估计。

另外，在上述谱峰搜索过程中采用“粗扫描+细扫描”的二阶搜索方法，可以大大减少算法的运算复杂度。

4 仿真实验

实验 1 对 LFM 信号的能量聚集域和解线调域输出特性进行验证。构造一个LFM信号

其参数设置为：f0=15Hz、μ0=30Hz/s、a0=1.5、φ0=0.5π。采样频率为500Hz，快拍数为401。分别对该信号进行能量聚集域和解线调域 FrFT，图3为该信号在时域以及上述2个分数阶Fourier域的输出波形。

从图3可以看出，该LFM信号在2个分数阶Fourier域上具有良好的能量聚集特性和解线调特性。本实验的结果验证了前文中的相关结论，是整个DOA估计方法的前提和基础。

图3 LFM信号在时域、能量聚集域和解线调域的输出

实验2 相干宽带LFM信号的DOA估计实验。假设ULA由10个阵元组成，阵元间隔d=5。远场存在2个相互独立的等幅宽带LFM信号源，其参数 分 别 设 置 为 ： f1=12MHz 、 μ1=1MHz/μs、f2=-8MHz、μ2=-0.7MHz/μs。2个信源各产生了 3个相干信号，入射角分别为：θ1=[40°,60°,140°]，θ2=[30°,90°,145°]。采样频率为 100MHz，快拍数为 501，阵元噪声为10dB的高斯白噪声。图4为参考阵元上观测信号的连续变化阶次FrFT的二维扫描谱。

图4 入射信号的二维FrFT扫描谱

从图4中可以看出，在(p, u)平面上有2个明显的谱峰，分别对应于2个LFM信号组。分别构造这 2组相干 LFM 信号在各自的解线调域上的MUSIC空间谱，如图5所示。

图5 相干LFM信号的MUSIC空间谱

对图5(a)和图5(b)所示的2个谱函数做关于角度θ的一维谱峰搜索，选择扫描步长为0.01°，得到2组入射信号的DOA估计为：=[39.46°,59.78°,140.12°]，=[29.16°,89.98°,145.35°]。

实验 3 本文方法和传统方法的性能对比实验。采用8阵元ULA，3个相干LFM信号入射到该阵列上，入射角设置为：θ =[50°,90°,140°]。在其他条件均相同的前提下，比较本文方法和文献[9]提出的基于能量聚集域 FrFT以及矩阵重构解相干的宽带LFM信号DOA估计方法的性能。图6给出了上述2种方法的MUSIC空间谱。

图7和图8分别给出了2种方法的DOA估计成功概率以及均方根误差（RMSE, root mean square error）随信噪比变化的曲线。所有仿真结果均为100次独立实验的平均。

由于本文方法利用了解线调分数阶 Fourier域上的全部观测数据参与 DOA估计的运算，与传统的基于FrFT峰值提取的算法相比，该方法对观测数据的利用更加充分，获得了一定的性能改善。通过图6～图8可以看出，相比于传统估计方法，本文方法具有更好的空间分辨性能和更低的信噪比门限。在DOA估计的RMSE相同时，与传统方法相比，本文方法可获得8dB左右的信噪比增益。

图6 本文方法和传统方法的估计结果

图7 DOA估计的成功概率随信噪比的变化曲线

图8 DOA估计的均方根误差随信噪比的变化曲线

5 结束语

本文提出了一种基于FrFT的相干宽带LFM信号DOA估计新方法。该方法利用阵列信号在2个特殊的分数阶Fourier域上的时频特性，实现了对不同的相干 LFM信号组的分离和各组内的DOA估计。相比于传统方法，本文方法对阵列数据的利用更加充分，获得了更好的空间分辨性能和更低的信噪比门限。另外，该方法无冗余阵元与孔径损失，并且可以推广到任意阵列流型。当存在G个相干LFM信号组时，使用M阵元的阵列最多可估计出的DOA数目达G(M-1)个。最后，仿真实验的结果证明了本文方法的良好估计性能。

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