在转子系统中利用共振法测量轴承的动态径向刚度

马会防 ，刘高进，南瑞民，戴哲峰

(1.上海凯泉泵业(集团)有限公司 技术中心，上海 201804；2.金华职业技术学院 机电工程学院，浙江 金华 321000)

转子系统中滚动轴承的刚度等参数特别重要。文献[1]研究了非均匀轴承游隙转子系统的动态响应和稳定性问题，文献[2-3]研究了轴承刚度对转子系统的动力学性能的影响，指出轴承刚度特性与其运行状态相关。

计算方面，以Hertz接触理论为基础，有的提出了简化公式，有的考虑了外载荷、游隙、油膜、预紧力及转速等诸多因素的影响[4-10]。由于影响轴承刚度的因素很多，导致计算值与实测值相差较大，所以，在关于计算方法的研究中，通常不采用计算值与实测值进行对比，而是不同计算方法之间的对比。

测试方面，一类是静态测试，基于Hooke定律，通过测量套圈相对线性位移得到轴承的刚度，这类方法对油膜、内外圈预紧变形等因素考虑的较少，测试结果是一种静态刚度，与轴承工作状态下的真实刚度有时相差很大。

还有一类是动态测试，一般采用轴承的非旋转直接激振法，通过施加已知的激励，测量振动响应来确定轴承的刚度[11-12]，由于滚动体不是处于转动的工作状态，测试值也类似于静态刚度；文献[13]利用轴承共振的方法，在滚动体处于旋转状态时测得了轴承的动态刚度，但是轴承的外圈处于自由状态，轴承游隙大于实际工作状态；文献[14]从随机振动响应中提取了轴承的动态刚度参数，该测试模型基本上完全模拟了轴承的实际工作状态，然而，其把模型中的转子假设为刚性体，而转子应为弹性体，只有弹性体的刚度远大于轴承刚度时，才可以把转子理想化为刚性体。所以，它得到的结论之一：“转子的抗弯刚度大于轴承刚度时，测出的轴承刚度接近真实值”，就是假设与实际不符合导致的。

鉴于以上研究，提出了一种测试方法，在旋转的转子系统中，测量轴承的动态径向刚度，就是在轴承处于旋转的工作状态下，测算轴承的径向刚度。

试验的物理模型是支座-轴承-转轴系统，根据文献[14]中提到的振动模型简化原则，将物理模型简化为力学模型，其中，支座结构厚重，可以认为是刚性体；轴承主要起弹性支承作用，简化为弹簧；转轴则是同时具有质量、弹性和阻尼的模型。通过激发共振——变速电动机带动转子系统不断加速，越过一阶共振区，测出试验物理模型的一阶横向振动频率，再根据简化后的力学模型，计算出轴承的径向刚度。

1 转子系统模型与基本理论

1.1 转轴的力学模型

由于转轴的质量、弹性和阻尼没有明显差别，故需要把转轴简化为同时具有质量、弹性和阻尼的模型。

转轴物理模型的质心位于中部，所以，力学模型的质量也位于质心处；设转轴本身结构的质量为m，力学模型的质量设为等效质量me，一般me

转轴的物理模型为连续弹性体，由于试验过程中只测试系统的一阶横向振动，其振型简单，轴上各处同相振动，所以，转轴可以简化为无质量的刚性轴，以及支承处的等效刚度ke和等效阻尼ce，如图1所示。

图1 转轴物理模型与力学模型对比

实际上，上述过程是把转轴简化成了单自由度模型，等效质量、等效刚度及等效阻尼为单自由度模型的模型参数。这些模型参数的求解可通过有限元法求得，简述其过程，就是创建转轴的有限元模型，在支撑处添加刚性支撑弹簧，计算转轴的一阶横向振动频率；然后在质心处添加点质量，仅改变模型的质量，再次求解转轴的一阶横向振动频率；接下来，改变点质量并再次求解转轴的一阶横向振动频率。这样，根据单自由度模型与有限元模型之间的对应关系，就得到关于3个未知参数的3个方程，解方程就求得转轴的等效质量、等效刚度和等效阻尼，详细过程可查看转子单自由度模型参数的有限元解法，此处不加赘述。

1.2 轴承与支座的力学模型

轴承相对于转轴质量较小，且主要起径向弹性支承作用，所以简化为径向弹簧，刚度值为kb。

支座结构厚重，刚度值较大，可以认为是刚性体。具体刚度值可以根据Hooke定律进行实测，也可以建立有限元模型，通过静力分析求得。与最后求出的轴承刚度进行比较，如果支座在径向的刚度值远大于轴承的径向刚度值，则证明支座假设为刚性体是合理的。由于支座与地基相连，且是刚性体，所以，支座在力学模型中表示为地基。

基于以上模型的简化，转轴-轴承-支座系统可以表示为如图2所示的单自由度模型系统。

图2 简化后的单自由度转子模型

该转子系统模型的总刚度为

(1)

总阻尼为

c=2ce，

(2)

固有频率为[15]

(3)

式中：kb,ke分别为轴承、转轴的等效刚度，N/m；ce为转轴的等效阻尼，N·s/m。

1.3 轴承径向刚度的计算公式

设转子系统的一阶横向振动频率为f，在测试上其对应于转子的一阶临界转速[14]，可通过Bode图直接测出，设测试值为N(r/min)；在理论上其对应于单自由度力学模型的固有频率，因此

(4)

结合(1)～(4)式，可得轴承的径向刚度为

(5)

2 测试与计算

2.1 测试模型与测试结果

测试模型为一实际产品的转轴，按照生产装配要求，安装了NU315轴承，然后将转子系统安装在转子试验台上。测试模型如图3所示，主要包括转轴、轴承、支座、调速电动机和振动传感器(含有Bode图测试功能的振动测试系统)。

图3 试验装置简图

控制调速电动机，使其转速由静止均匀加速到3 500 r/min，测得临界转速N约为2 250 r/min，测得的Bode图如图4所示。

图4 测定临界转速的Bode图

2.2 力学模型的计算

转子质量为144 kg，三维CAD模型如图5所示。根据转子单自由度模型参数的有限元解法，利用一阶横向振动频率值与单自由度模型固有频率之间的对应关系，可得

图5 某型转子的CAD模型

(6)

通过在质心处添加和改变点质量的方法，可得到多个形如(6)式的关于me，ke和ce的方程，求解方程组即可。

具体过程如下：

(1)在CAD模型中，求出质心坐标；

(2)在CAE模型中，添加刚性弹簧支撑(弹簧刚度值1011N/m)；

(3)模态分析，根据一阶横向振型，判断出相应的频率f=60.134 Hz；

(4)在质心位置，添加点质量Δm=0.5m=72 kg，重新计算，判断出一阶横向振型相应的频率，记为f1=40.718 Hz；

(5)在质心位置，添加点质量Δm=m=144 kg，重新计算，判断出一阶横向振型相应的频率，记为f2=30.017 Hz；

(6)将f，f1，f2代入(6)式，可求得图2所示转轴单自由度模型的参数，结果见表1。

表1 单自由度转轴模型的参数

2.3 轴承径向刚度的计算

将测得的临界转速N以及计算得到的转轴模型参数代入(5)式，可计算得出该轴承的动态径向刚度

kb=4 743 376.521=4.743 8×106N/m。

轴承径向刚度理论计算值的量级通常为107或108，而本次测试值比一般静态计算值偏低，其原因可能是该转子的轴承不需要预紧，安装后还是正游隙，且转轴的径向力基本为零；而转动时的油膜状态等诸多因素很难体现在理论计算中。因此，对于轴承的径向刚度，尤其在实际安装状态下的动态径向刚度，不宜用纯理论的方法估算，最好进行实测。

3 分析与讨论

3.1 影响计算结果的因素

研究me，ke和ce的计算过程，发现与Δm/m关系比较大，结果如图6所示。

图6 参数计算结果的稳定性与Δm/m的关系

当Δm/m较大(lg(100Δm/m)>1.3，即 Δm/m>0.2)时，参数的计算结果稳定性比较好；当Δm/m较小(lg(100Δm/m)≤1.0，即Δm/m<0.1)时，计算结果稳定性较差，即参数me,ke和ce的计算结果可能与真实值偏差较大。

由于求解一阶横向振型时使用的是有限元法，计算结果与网格大小等有限元软件的相关设置也有关，但是由于有限元技术已经相当成熟，合理、正确设置的前提下，单元大小等有限元因素影响可以忽略。

对于参数N，测定Bode图时，可以通过提高采样频率、减小测定的转速范围等方法，更加精确地测定峰值对应的转速。

3.2 不同型号轴承的动态径向刚度

用上述方法测试轴承的动态径向刚度，需要转轴两端安装同样的轴承(组)，而实际转轴可能在两端安装不同型号的轴承，这时，假设一端的径向刚度为kb1，另一端为kb2，则待求物理量为2个。

该问题的解决，可通过Bode图测试临界转速N，之后在转轴质心处加装轴对称质量块Δm，然后再测临界转速，设测得的临界转速为N′，则可以得到关于kb1与kb2的二元二次方程组，理论上可以求解。

3.3 轴承的径向阻尼

之前的分析讨论中，一直忽略了轴承的径向阻尼，如果需要考虑，则待求物理量除了径向刚度kb，又添加了径向阻尼cb。

该问题同样可采用3.2节所述方法进行解决。

由于试验条件的限制，暂时无法通过试验求证3.1和3.2中的问题。

3.4 轴承预紧力对径向动态刚度的影响

前面已经提到影响轴承刚度的多种因素，而游隙对径向动态刚度也有很大影响，可通过改变轴承预紧力而改变径向动态刚度。预紧方式有定位预紧、定压预紧。由于当前试验中的轴承没有预紧装置，不能进行不同预紧情况下轴承径向动态刚度的对比试验，但运用上述方法，将来可以进行这方面的研究和试验。

4 结论

(1)通过简化物理模型，建立转子系统的力学模型，找到了轴承径向刚度与临界转速的函数关系，为进行动态径向刚度的测试奠定了理论依据。

(2)通过试验测定了某型号产品的轴承动态径向刚度，分析了动态径向刚度测试值和理论计算的不同，并探讨了影响动态径向刚度测量和计算结果的因素。

(3)讨论了转轴上装有不同型号的轴承时，如何测量动态径向刚度。

(4)分析讨论了轴承的径向阻尼问题以及理论上的解决方法等。