摩擦力做功问题的多角度分析与拓展

徐华兵

（金华第一中学，浙江 金华 321015）

摩擦力做功问题一直是高中物理的一个难点，也是教学的重点.学生在做这类题目时常分不清摩擦力做功情况，以致无法解题.笔者在关于摩擦力做功的教学中采取了分类归纳教学，取得了很好的教学效果.本文通过对静、动摩擦力做功问题进行分类归纳多角度解析，希望对学生解决摩擦力做功类问题有所帮助.

1 静摩擦力做功

（1）单个静摩擦力做功.

很多学生对静摩擦力做功意识模糊，认为静摩擦力是产生于“静止”的物体之间，所以静摩擦力一定对物体不做功.其实并非如此，请欣赏生活中常见静摩擦力做功情境.用手握住一个啤酒瓶子，使啤酒瓶呈竖直状态.对啤酒瓶进行受力分析可知，啤酒瓶受到手对它向上的静摩擦力.当手和啤酒瓶向上做匀速运动时，位移向上，手对啤酒瓶的静摩擦力是动力，对啤酒瓶做正功；当手和啤酒瓶向下做匀速运动时，位移向下，手对啤酒瓶的静摩擦力是阻力，对啤酒瓶做负功；当手和啤酒瓶在水平面上做匀速运动时，位移在水平面上，手对啤酒瓶的静摩擦力方向和位移的方向垂直，对啤酒瓶不做功.

从上面情境中，很容易看出静摩擦力可以对物体做正功，也可以做负功，还可以不做功，关键是要看物体受到的静摩擦力方向和它运动方向间的关系.下面再通过其他实例谈谈静摩擦力做功情况：

① 静摩擦力可以对物体做正功和负功.

例1.如图1所示，质量分别为m和M的A、B两个木块叠放在光滑的水平面上，A与B之间的动摩擦因数为μ，现用一水平拉力F作用于A，使A和B保持相对静止一起向右做匀加速直线运动，位移为s，则在这一过程中静摩擦力对A物体做多少功，对B做多少功.

解析：要求出静摩擦力对A、B做的功，首先要知道A、B两物体所受静摩擦力的大小和方向.对A、B进行受力分析，如图2中（a）、（b）所示.由于A、B保持相对静止状态，对整体运用牛顿第二定律知加速度利用隔离法求出静摩擦力再由功的计算式W＝Fscosθ得静摩擦力对A物体做的功对B物体做的功由此可见A、B之间的静摩擦力对A物体做负功，对B物体做正功.

图1

图2

② 静摩擦力可以对物体不做功.

图3

例2.放在水平圆盘上的一物体m，随圆盘一起绕过圆盘中心的垂直轴做匀速圆周运动（如图3所示），物体m始终和圆盘处于相对静止状态，求圆盘对物体的静摩擦力对物体做的功.

解析：由于物体随圆盘一起做匀速圆周运动，圆盘对物体的静摩擦力提供物体所需向心力，即物体所受的静摩擦力方向指向圆盘中心.由于此静摩擦力的方向每时每刻都和物体做圆周运动线速度的方向垂直，所以此静摩擦力对物体不做功.

由以上分析可以得出：静摩擦力对物体可以做正功也可以做负功，还可以不做功.判断静摩擦力做功的关键是要分析清楚静摩擦力的方向与物体对地位移的关系.当静摩擦力方向与物体对地位移方向相同即静摩擦力作为物体运动的动力时，静摩擦力对物体做正功；当静摩擦力的方向与物体位移方向相反即静摩擦力作为物体运动的阻力时，静摩擦力对物体做负功；当静摩擦力的方向与物体位移方向垂直即静摩擦力既不是动力也不是阻力时，静摩擦力对物体不做功.

（2）一对静摩擦力的合功（即作用力与反作用力做的总功）.

静摩擦力存在于无相对运动而具有相对运动趋势的物体之间，因此产生静摩擦力的两个物体对地位移一定相等，而物体间这一对静摩擦力互为作用力和反作用力，大小相等、方向相反.所以如果其中的一个静摩擦力做正功，那么另一个静摩擦力一定做负功，且负功的数值一定等于正功的数值；或者如果其中一个静摩擦力做功为0，那么另一个静摩擦力做功也一定为0.即有一对静摩擦力做功的代数和一定为0.前面是通过逻辑推理的角度得到一对静摩擦力做的合功一定为0，下面再通过具体的例子作进一步分析.

在上面的例1中，A与B物体之间存在的是静摩擦力，B对A的静摩擦力对A做的功对B的静摩擦力对B做的功这一对静摩擦力做的合功即这一对静摩擦力做的合功为0.在上面的例2中物体和圆盘之间存在的也是静摩擦力，但物体和圆盘沿摩擦力的方向对地的位移都为0，即静摩擦力对物体做的功为0，静摩擦力对圆盘做的功也为0，所以这一对静摩擦力做的合功为0.

由以上分析得出，一对静摩擦力做功的代数和一定为0.它包含两种情况：一是这一对静摩擦力一个做正功，一个做负功，但数值相等，其代数和为0；二是这一对静摩擦力中的每一个静摩擦力做功都为0，即每个静摩擦力都不做功.

（3）一对静摩擦力做的合功与系统能量间的关系.

通过前面的分析已知一对静摩擦力对物体做功的代数和为0，而功又是能量转化的量度.所以在一对静摩擦力做功过程中，产生静摩擦力的两个物体系所具有的机械能不会发生转化，即物体系的机械能不会转化为其他形式的能.但这一对静摩擦力中的某一个力可能对其中一个物体做正功，使这一个物体的机械能增加，如上面例1中的静摩擦力对B做正功，使B物体的机械能增加；另一个力肯定对另一个物体做负功，使这一物体的机械能减少.进一步分析发现静摩擦力做功会使物体系中物体间的机械能发生转移，但物体系总的机械能不发生变化.

2 滑动摩擦力做功

（1）单个滑动摩擦力做功.

判断滑动摩擦力做功情况时，常有学生认为滑动摩擦力是由于物体间发生相对滑动而产生的，那么滑动摩擦力的方向一定和物体的“位移”方向相反，所以滑动摩擦力一定对物体做负功.其实不然，请欣赏下面生活情境，分析滑动摩擦力做功情境.

用手拿着黑板擦擦黑板，黑板擦和黑板之间发生了相对滑动，黑板和黑板擦所受的摩擦力都是滑动摩擦力.黑板对黑板擦的滑动摩擦力方向与黑板擦位移方向相反，据功的计算式知滑动摩擦力对黑板擦做负功；而在这一过程中黑板的位移为0，即黑板擦对黑板的滑动摩擦力对黑板不做功.

从上面这常见情境中知道滑动摩擦力可以对物体做负功，也可以对物体不做功，进一步分析发现滑动摩擦力还可以对物体做正功.下面通过具体实例来解析滑动摩擦力做功情况.

① 滑动摩擦力可以对物体做正功和负功.

例3.如图4所示，一长为l，质量为M的平板车B，放置在光滑的水平面上，有一质量为m的小金属块A（可看做质点）以水平初速度v0滑进动摩擦因数为μ的平板车上部，小铁块从平板车左端滑到平板车右端时与平板车保持相对静止，已知在这一过程中平板车发生的位移为s，求该过程中滑动摩擦力对小金属块A和平板车B做的功.

解析：（a）滑动摩擦力对小金属块A的做功情况：小金属块A对地的位移为l＋s，所受的滑动摩擦力方向与位移方向相反，所以滑动摩擦力对A做负功，其值为

图4

（b）滑动摩擦力对平板车B做功情况：在这一过程中平板车对地的位移为s，所受滑动摩擦力的方向与位移的方向相同，所以滑动摩擦力对平板车B做正功，其值为

② 滑动摩擦力可以对物体不做功.

如果例3中的平板车固定不动，只是小金属铁块A在平板车上滑动，则小金属块A和平板车B所受的滑动摩擦力大小和方向不变，对小金属块A滑动摩擦力的方向和位移方向相反，滑动摩擦力对小金属块A做负功；平板车B固定不动，对地位移为0，即滑动摩擦力对平板车B不做功.

从上面的分析可以看出，滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做负功，还可以对物体不做功.当滑动摩擦力阻碍物体的运动即滑动摩擦力为阻力时，滑动摩擦力对物体做负功；当滑动摩擦力促进物体的运动即滑动摩擦力为动力时，滑动摩擦力对物体做正功；当物体在滑动摩擦力的作用下相对地面静止（即位移为0）时，即滑动摩擦力既不作动力也不作阻力时，滑动摩擦力对物体做功为0.

（2）一对滑动摩擦力做的功（即滑动摩擦力的作用力和反作用力做的总功）.

通过上面的分析已知滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做负功，还可以对物体不做功.而滑动摩擦力是由于物体间相对滑动而产生的，故两个物体对地的位移不相等.根据功的计算式知滑动摩擦力做负功的数值一定大于滑动摩擦力做正功的数值，即这一对滑动摩擦力做的总功一定为负.下面以例3为例作进一步的分析：当平板车运动时，平板车对小金属块的滑动摩擦力对小金属块A 做的功W1＝－fAB（l＋s）＝－μmg（l＋s），小金属块对平板车B的滑动摩擦力对平板车B做的功W2＝fBAs＝μmgs，所以这一对滑动摩擦力做的总功W＝W1＋W2＝－μmg（l＋s）＋μmgs＝－μmgl，为负值.当平板车固定时，平板车对小金属块的滑动摩擦力对小金属块做负功，而小金属块对平板车的滑动摩擦力对平板车不做功，故这一对滑动摩擦力做的总功也为负值.

进一步分析可知一对滑动摩擦力做功之和一定为负值.它包含3种可能的情况：一是一对滑动摩擦力一个做正功一个做负功，但负功的数值大于正功的数值，即如同例3中一对滑动摩擦力对小金属块和平板车做功情形；二是一个滑动摩擦力做负功，而另一个滑动摩擦力对物体不做功，其总功为负值，即如同例3中平板车固定不动时这一对滑动摩擦力做功的情形；三是一对滑动摩擦力都对物体做负功，其总功为负值，如图5中向相反方向发生滑动的两个物体之间产生的滑动摩擦力，其中A对B的滑动摩擦力对B做负功，B对A的滑动摩擦力对A也做负功，这一对滑动摩擦力做的总功为负值.

（2）一对滑动摩擦力做的合功与系统能量间的关系.

在例3中以小金属块A为研究对象，滑动摩擦力对小金属块A做的功W1＝－fAB（l＋s）＝－μmg（l＋s）.根据动能定理，小金属块A动能的变化量ΔEk金＝W1＝－μmg·（l＋s）.此式表明小金属块从开始滑动到相对平板车静止的过程中，其动能减小即机械能减小.以平板车为研究对象，滑动摩擦力对平板车所做的功W2＝fs＝μmgs.根据动能定理可知平板车B的动能变化量ΔEk车＝W2＝μmgs，此式表明金属块从开始滑动到相对平板车静止的过程中，平板车的动能在增加.将两式相加有ΔEk金＋ΔEk车＝W1＋W2＝－μmgl，由此式可知在这一过程中，小金属块和平板车组成的系统机械能在减小，减少的数值等于滑动摩擦力与小金属块和平板车之间相对位移的乘积，这部分机械能转化为系统的内能使系统产生热量.

图5

由此可以得出，滑动摩擦力对相互作用的两物体系统做负功，使系统的机械能减小，转化为内能，即摩擦生热.产生的热量等于摩擦力和相互摩擦的两个物体间相对路程的乘积，即Q＝fs相对.

所以对存在滑动摩擦力的系统，在一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的改变包括两种情况：一是系统内相互作用的物体间机械能发生相互转移，机械能从一个物体转移到另一个物体；二是系统内物体的机械能发生转化，将系统内的机械能转化为系统内能.

本文对静摩擦力和滑动摩擦力做功情况以及一对摩擦力做功与系统能量间的关系作了多角度的归纳总结.学生在遇到摩擦力做功问题时，一定要根据具体的情境判断物体所受的摩擦力和物体对地位移间的关系，从而判断摩擦力的做功情况.