例说推理过程“箭标显示法”

蒋利峰 张善贤

（1.苏州市吴中区西山中学，江苏 苏州 215111；2.苏州市吴中区教研室，江苏 苏州 215128）

在求解某些涉及物理量较多、运用物理公式较多、演算的步骤也较多的习题时，常可在解题前，根据题设条件和求解目标作推理分析.为了减少繁叙赘述，建议可用箭头表示推理过程，笔者称之谓物理过程的“箭标显示法”.其法是根据题目的已知量和待求量，作为一组箭标的首末，按程序列出中间的物理量，物理量之间用箭标架设桥梁，显示推进方向，并在箭标上方列出过渡的物理公式，这样，整个推理过程，步步深入，层层展开，一目了然，立竿见影，从而扫清求解过程中的思维障碍，有效解答问题.

由于推理过程可进行双向思维，所以箭标显示法有顺标和逆标两类，本文按义务教育物理课程标准制定的科学内容用两法各举二个典型案例，说明它的操作过程.

1 顺标显示法

从已知量出发，依次标出中间过渡量，直至待求量.

例1.在如图1（a）所示电路中，滑动变阻器R的阻值变化范围为0—20Ω，电阻R0的阻值为8Ω且保持不变，电阻r的阻值r≤R0，接通电路后，当滑片P置于变阻器的b端时，电阻R0消耗的实际功率为2W，那么，当滑片P位于变阻器的a端时，加在电阻R0两端的电压为多少？

箭标见图1（b）.

图1

解析：图1电路由定值电阻R0，取值不定电阻r，滑动变阻器R串联而成.按题意顺序该电路又可切换成4种不同状态下的等效电路如图2（a）、（b）、（c）、（d）所示.

图2

先由R0＝8Ω，P0＝2W，再运用P0＝I2R0，得到I＝当r＝R0＝8Ω，滑动变阻器滑片P置于b端时，电路如图2（a），电源电压U电源1＝I（R0＋R＋r）＝0.5A×（8Ω＋20Ω＋8Ω）＝18V.若将滑片P置于a端时，电路由R0和r串联而成如图2（b），R0两端的电压为

当r＝0Ω时，滑动变阻器滑片P置于b端时，电路由R0和R串联而成如图2（c）.电源电压U电源2＝I（R0＋R）＝0.5A×（8Ω＋20Ω）＝14V.

若将滑片P置于a端时，电路只有电阻R0，如图2（d），R0两端电压U2＝U电源2＝14V.

计算表明，对于变值电阻r在8Ω至0Ω之间取值不同，加在定值电阻R0两端的电压在9V至14V之间的值均有可能.

最后要指出的是，本题在箭标显示的基础上可提炼出一种简捷运算方法，该法在算出后，可运用欧姆定律和分压原理算出加在电阻R0两端的电压.当r＝R0＝8Ω时，U最小r＝0Ω时，U 最大在8Ω和0之间，U是9V至14V之间的某一值.

例2.一辆汽车发动机的功率是35kW，效率是25%.当油箱中有20kg的汽油时，汽车以36km／h的速度匀速运动.试求汽车能够行驶的路程.设汽车的热值q＝4.6×107J／kg.

箭标见图3.

图3

解析：由汽油质量m＝20kg，汽油的热值q＝4.6×107J／kg，得出汽油完全燃烧释放的热量Q放＝mq＝20kg×4.6×107J／kg＝9.2×108J，这就是输入发动机的总能量.

再根据发动机的效率η＝25%，得出汽车发动机输出的有用功W有用＝ηQ放＝25%×9.2×108J＝2.3×108J.因为发动机的功率P＝35kW＝3.5×104W，由W＝Pt得到汽车能够运行的时间

根据题意v＝36km／h＝10m／s得到汽车能够行驶的路程s＝vt＝10m／s×6.6×103s＝6.6×104m.

2 逆标显示法

从待求量出发逆推，依次标出中间过渡量，直至已知量.

例3.已知某实心小球是由表1中所列出的塑料材料中的一种制成的.

表1

为了鉴别该小球究竟是由其中哪一种塑料制成的，某同学设计并进行了以下实验：

（1）把该小球放入盛有足够多酒精的量杯中，松手后，当小球处于平衡状态时，发现量杯内的液面由60mL处升高到90mL处（已知酒精的密度是0.8×103kg／m3）；

（2）再把该小球放入另一只盛有足够多水的量杯中，松手后，当小球处于平衡状态时，发现量杯内的水面由60 mL处升高到87mL处.问小球是何种材料制成的？

本题的实质是求小球的密度.

箭标见图4.

图4

解析：依据题设条件，可知塑料小球排开酒精的体ΔV排1＝30mL＝3×10－5m3，排开水的体积ΔV排2＝27mL＝2.7×10－5m3.

小球的密度虽然未知，但是从例3给出的6种塑料密度表可知它的密度不会小于酒精的密度.这样，小球在酒精中只能是悬浮或沉底，于是立即可以推知小球的体积V＝V排＝3×10－5m3，再由V排2＜V排1，得出小球肯定漂浮在水面，根据漂浮条件和阿基米德原理，推知小球重.

G＝F水浮＝ρ水gV排2＝1×103kg／m3×10N／kg×2.7×10－5m3＝0.27N.

对照例3给出的塑料密度表，确定小球由聚丙烯制成的.同时可知小球放在酒精的量杯中是沉到杯底的.

例4.如图5所示滑轮组，在不计绳重和摩擦的前提下：（1）提起重5 000N的重物，拉力F的功率为2.5kW，拉绳子的速度为1.2m／s，求滑轮组的机械效率.（2）用该滑轮组提起4 000N的重物，匀速升高6m，求拉力做的总功.

（1）箭标见图6.

图5

图6

解析：假设动力F向下拉绳子的时间为t，拉力所做的功W总1＝Pt.

重物提升的高度h1＝vt／n＝vt／3.

（2）箭标见图7.

图7

拉力所做的总功 W总2＝（G2＋G动）h2＝（4 000N＋1 250N）×6m＝3.2×104J.

顺便可求出，在第二种情况时，滑轮组的机械效率

可见在不计绳重和摩擦时，滑轮组的机械效率随提升的物重减小而降低.

运用“箭标显示法”需要注意下列3点：

（1）一般适用有一定难度的综合题，即本文开始所指的“三多”题，对于开门见山的题目，不必画蛇添足.

（2）究竟采用“顺标显示法”还是“逆标显示法”，要依据题设条件而定，多数情况下用顺标显示，只有当题设条件比较隐蔽时，采用逆标显示法，如例3塑料小球的质量和体积要分别在两种液体中分析出它们的浮沉情况后才能确定.例4中动滑轮重以及物重变化引起滑轮组的机械效率的变化等也要通过分析才能见底.

（3）推理的箭标显示通常是在脑海中运转，特殊情况譬如：题设条件七绕八弯时，相互之间需要讨论交流时，尤其在课堂教学或课外辅导时需要选用多种媒体作箭标显示.

总之，推理过程“箭标显示法”的正确使用，必将使物理教学成为有的放矢、有条不紊、有理可据的科学行为.长期坚持，及时充实，不断更新，必将从根本上改变学生接受学习，死记硬背，机械搬套的陋习.不断提高学生乐于探究，勤于思索，善于发现问题，提出问题的能力，并养成交流合作的良好习惯，帮助他们尽快步入自主性学习的轨道.