二级旋转倒立摆的逐级模糊实时控制

高 强， 李 毅， 陈莎莎

（1.天津理工大学 自动化学院 天津市复杂控制理论与应用重点实验室，天津 300384；2.南开大学 信息技术科学学院，天津 300071）

二级旋转倒立摆的逐级模糊实时控制

高 强1， 李 毅2， 陈莎莎1

（1.天津理工大学 自动化学院 天津市复杂控制理论与应用重点实验室，天津 300384；2.南开大学 信息技术科学学院，天津 300071）

文章根据柯尼希定理，应用拉格朗日方程，建立了二级旋转倒立摆系统的动力学方程，并计算出系统一般形式的状态方程组；应用基于T－S模糊模型，设计了按照上摆杆、下摆杆和旋转臂分级优先顺序的逐级模糊控制器，实现了对旋转倒立摆系统的实时控制。控制结果表明，逐级模糊控制可满足实时控制要求，具有控制精度高、稳定性好的特点。

二级旋转倒立摆；T－S模型；逐级建模控制；柯尼希定理

倒立摆系统的控制问题是控制领域的经典问题。倒立摆系统的研究始于20世纪50年代，由于其具有高阶次、多变量、非线性、强耦合和不稳定的特性，研究人员一直将它视为典型的研究对象，并不断从中探索新的控制理论和控制方法。虽然我国对倒立摆的研究起步比较晚，但是值得一提的是，2010年6月18日，李洪兴教授的课题组在世界上首次实现了空间四级倒立摆实物控制。

本文提出使用柯尼希定理对摆杆能量进行分析计算，相比于传统方法［1］，大大减少了计算量，进而可以推导出精确的二级旋转倒立摆的数学模型；根据模型设计控制器，采用所设计的逐级模糊控制器实时控制二级旋转倒立摆系统。实时控制的难度在于，在控制过程中会出现许多控制干扰因素，同时，控制算法还需要满足控制的实时性要求。实时控制环境能更加接近复杂的、恶劣的现场环境，更能验证算法的实际可行性，这是仿真中不能体现的。因此，实时控制倒立摆在对控制算法的实践检验上，具有重要的意义。

1 二级旋转倒立摆系统研究

基于动力学分析，建立旋转倒立摆系统数学模型，这是实现倒立摆控制的基础。旋转倒立摆的模型结构如图1所示。忽略各种摩擦力和阻力，旋转臂、下摆杆和上摆杆可以抽象为均匀质杆，编码器抽象为质点，其中旋臂长度为R，其与OXYZ坐标系中的Y轴的夹角为α；下摆杆的质量为m1，长度为L1，其与O1X1Y1Z1坐标系中的Z1轴的夹角为β，质心位置为摆杆的中点；上摆杆的质量为m2，长度为L2，其与O2X2Y2Z2坐标系中的Z2轴夹角为θ，质心位置为摆杆的中点；编码器的质量为mE，所在位置为下摆杆与上摆杆连接处（图1中O2处）。相应地，˙α为旋臂角速度，为下摆杆角速度为上摆杆角速度。Jeq为旋转臂的转动惯量。旋转臂在平面XOY内运行，下摆杆在平面X1O1Z1内运行，上摆杆在平面X2O2Z2内运行。

图1 二级旋转倒立摆系统结构示意图

1.1 旋转臂的动能和势能

动能为Ek旋臂＝（Jeq）／2，势能以旋臂所在平面为零势能面，即Ep旋臂＝0。

1.2 下摆杆的动能和势能

根据柯尼希定理可知下摆杆的动能为：

利用坐标系之间的齐次变换矩阵［2］（1）式，可写出下摆杆质心在OXYZ坐标系中的坐标表示，即（2）式。设动坐标系o－uvw初始位置与定坐标系OXYZ重合，相对于动坐标系o－uvw进行变换，根据右手定则以及对α角的定义，o－uvw→O1X1Y1Z1可以看做是动坐标系o－uvw先平移到点［Rsinα，Rcosα，0］，再对w轴旋转（－α）的叠加，即

于是有：

整理可以得到速度表达式为：

由于：

下摆杆相对其质心的转动动能为：

下摆杆的势能为：

1.3 编码器的动能和势能

由于：

可以得知编码器的速度为：

编码器的动能为：

编码器的势能为：

1.4 上摆杆的动能和势能

根据柯尼希定理可知上摆杆的动能为：

利用坐标系之间的齐次变换矩阵（9）式，可写出上摆杆质心在OXYZ坐标系中的坐标表示，即（10）式。o－uvw→O1X1Y1Z1→O2X2Y2Z2相对于动坐标系o－uvw进行变换，可以看做是在O的基础上，再平移到点［L1sinβ，0，L1cosβ］。

于是有：

整理可以得到速度表达式：

所以：

上摆杆相对其质心的转动动能为：

上摆杆的势能为：

1.5 Lagrange方程

Lagrange函数为：

忽略各种摩擦力和阻力，所以二级旋转倒立摆的Lagrange方程为：

进而可以得到系统的数学模型：

其中

本文推导的数学模型应用柯尼希定理，可以使研究者对倒立摆的物理特性更加明了清晰。

2 基于T－S模型的逐级模糊控制

通过对实时控制实验的观察，系统各部分稳定的重要性分级为上摆杆为高级，下摆杆为中级，旋转臂为低级。按照分级优先顺序，设计基于TS 模糊模型［3－4］的逐级模糊控制器［4－5］。

逐级控制采用全局状态变量作为模糊控制器［6－7］的输入。论域设定为：theta∈［－8／180＊pi，＋8／180＊pi］，beta∈［－12／180＊pi，＋12／180＊pi］，alpha∈［－0.3，＋0.3］；theta－dot∈［－1，＋1］，beta－dot∈［－1，＋1］，alpha－dot∈［－2，＋2］。theta变量用3个模糊子集｛－8 0 8｝来描述，beta变量用3个模糊子集｛－12 0 12｝来描述，均采用高斯型，全交叠、均匀分布隶属度函数。theta－dot变量用3个模糊子集｛－1 0 1｝来描述，beta－dot变量用3个模糊子集｛－1 0 1｝来描述，alpha变量用3个模糊子集｛－0.3 0 0.3｝来描述，alpha－dot变量用3个模糊子集｛－2 0 2｝来描述，均采用高斯型，全交叠、均匀分布隶属度函数。

按照分级控制的思想，对（16）式进行局部线性化，可求得如下的模糊模型。

（1）若theta是8°，theta－dot是1，或theta是－8°，theta－dot是－1，则˙x＝A1x＋B1u。

（2）若theta是8°，theta－dot是－1，或theta是－8°，theta－dot是1，则˙x＝A2x＋B2u。

（3）若theta是8°，theta－dot是0，或theta是－8°，theta－dot是0，则˙x＝A3x＋B3u。

（4）若theta是0°，theta－dot是1，或theta是0°，theta－dot是－1，则˙x＝A4x＋B4u。

（5）若theta 是 0°，theta－dot是 0，beta 是－12°，beta－dot是－1，或theta是0°，theta－dot是0，beta是12°，beta－dot是1，则˙x＝A5x＋B5u。

（6）若theta 是 0°，theta－dot是 0，beta 是－12°，beta－dot是 1，或theta是 0°，theta－dot是0，beta是12°，beta－dot是－1，则˙x＝A6x＋B6u。

（7）若theta 是 0°，theta－dot是 0，beta 是－12°，beta－dot是 0，或theta是 0°，theta－dot是0，beta是12°，beta－dot是0，则˙x＝A7x＋B7u。

（8）若theta是 0°，theta－dot是 0，beta是0°，beta－dot是－1，或theta是0°，theta－dot是0，beta是0°，beta－dot是1，则˙x＝A8x＋B8u。

（9）若theta是 0°，theta－dot是 0，beta是0°，beta－dot是0，alpha是 ｛－0.3°，0°，0.3°｝中的任意一个，alpha－dot是 ｛－2，0，2｝中的任意一个，则＝A9x＋B9u。

考虑对每一个线性子系统设计一个局部的线性状态反馈控制器。对每个局部模型的期望闭环极点都选为：－96.677 9，－9.430 7＋3.373 4i，－9.430 7－3.373 4i，－4.276 6＋1.572 5i，－4.276 6－1.572 5i，－1.002 2。可以求得对应每个子系统的局部反馈增益矩阵为：

输出变量Toutput用9个模糊子集｛1 2 3 4 5 6 7 8 9｝来描述。其中，具体控制规则见表1所列。

表1 逐级模糊控制规则表

模糊规则L1～L25的后件如下所示：

其中，tau1～tau9即为输出变量Toutput对应的9个级别。解模糊采用加权平均法（weighted average）。

该实时控制的实验是基于加拿大Quanser公司的SRV－02旋转倒立摆平台，实时控制系统为Quarc，可以与Simulink无缝编译连接，如图2所示。在图2中，“T－S every”为基于 T－S模型的逐级模糊控制模块。取稳定控制过程中的20s数据，实时控制结果如图3所示。

图2 基于T－S模型逐级模糊控制的实时控制结构图

图3 基于T－S模型逐级模糊控制的实时控制结果

实时控制结果表明，基于T－S模型的逐级模糊控制可使二级旋转倒立摆系统“倒立”。控制器在使倒立摆稳定的情况下，使角alpha在设定值10°附近运动，基本控制在［5°，15°］，使角beta基本控制在［－3°，＋3°］，使角theta基本控制在［－2°，＋2°］，以及使alpha－dot、beta－dot和theta－dot均在可控制范围内，因此基于T－S模型的逐级模糊控制器完全满足设计要求。角theta的控制精度得到了明显提高，其运行区间更加对称，表明了系统更加稳定，充分说明了逐级控制方法的正确性、优异性。

3 结束语

本文详细推导了二级旋转倒立摆的数学模型，提出使用柯尼希定理解决摆杆能量的问题，使得建模过程中的计算量减少，避免了大计算量带来的实时控制实现困难，提高了建模的精度，实现了基于T－S模型的逐级模糊控制器，克服了实时控制中的各种不确定的干扰，提高了控制精度，也增强了控制的稳定性。该算法还可进一步使用遗传算法、粒子群算法、蚁群算法等，寻找最优闭环极点，进而设计出控制精度更高的控制器。

［1］但远宏，赖红霞.环形二级倒立摆的建模与能观性和能控性分析［J］.重庆工学院学报：自然科学版，2007，21（11）：7－16.

［2］韩建海.工业机器人［M］.武汉：华中科技大学出版社，2009，50－56.

［3］Shi Xiaoxia，Zhong Qiuhai.The mathematic model for the double inverted pendulum based on state feedback and T－S model［C］／／SICE Annual Conference，2003：1457－1460.

［4］陈泽望.二级倒立摆系统的模糊控制研究［D］.沈阳：东北大学，2008.

［5］朱学峰，周文彬，陈华艳.二级倒立摆的T－S型逐级模糊神经网络控制［J］.华南理工大学学报：自然科学版，2005，33（2）：43－47.

［6］诸 静.模糊控制理论与系统原理［M］.北京：机械工业出版社，2005，393－399.

［7］Zadeh L A.Fuzzy sets［J］.Information and Control，1965，8：338－353.

Real－time control of rotary double inverted pendulum system by using gradual fuzzy algorithm

GAO Qiang1， LI Yi2， CHEN Sha－sha1
（1.Tianjin Key Laboratory for Control Theory and Applications in Complicated System，School of Automation，Tianjin University of Technology，Tianjin 300384，China；2.School of Information Technical Science，Nankai University，Tianjin 300071，China）

The dynamics equation of a rotary double inverted pendulum system is deduced by applying Konig theorem and Lagrange method，and the state equation set of the system in general form is calculated.A gradual fuzzy controller is designed by means of the T－S fuzzy model.For the real－time control of the system，the upper pendulum has a high priority，the lower pendulum has a middle priority and the rotary arm has a low priority.The results of the real－time experiment prove that the gradual fuzzy algorithm based on T－S model can satisfy the requirement of real－time control and has better control precision and stability.

rotary double inverted pendulum；T－S model；gradual fuzzy control；Konig theorem

TP20

A

1003－5060（2012）11－1474－07

10.3969／j.issn.1003－5060.2012.11.009

2012－04－27；

2012－06－30

高 强（1962－），男，天津市人，天津理工大学教授，硕士生导师.

（责任编辑 张 镅）