平面二次代数曲线的最优参数化

厉玉蓉， 胡芳刚

（1. 山东工商学院计算机科学与技术学院，山东 烟台 264005；2. 山东师范大学信息科学与工程学院，山东 济南 250014）

曲线、曲面是计算机图形学(CG)和计算机辅助几何设计(CAGD)中的基本研究对象。参数形式和隐式形式是表示曲线、曲面的两种主要方式。两种表示形式各有其内在的优点，有效地实现二者的相互转换一直是 CAGD的一个热点问题[1-9]。从数学意义上讲，二次代数曲线曲面的有理参数化问题已经完全解决了，但远不能满足实际应用的需求。首先，在几何造型领域中，通常是对某一曲线上的一部分感兴趣，而非整条曲线；其次，工程人员更希望得到最优参数化，即当参数均匀选取时，对应点间的弧长也能够较为均匀。传统的参数化方程对目标曲线段的效果很难确定，例如，对单位圆的有理参数化，多用下式来表示

当t∈(0,1)时，表示圆在第1象限的部分，但是，这个有理参数化并不是圆在第1象限的最优参数化结果。

代数曲线参数化后，得到新的曲线方程，参数化因子不同，则得到的参数曲线的方程不同。不妨将目标曲线段的参数域定为[0, 1]，若将参数视为时间，曲线视为物体移动路线，最优参数化实质上是寻求物体速率变化最小的参数化结果。

对于一般的有理参数化而言，弧长参数化基本不可能取到，只能在固定参数化形式中，寻求最接近弧长的参数化方程。Farouki[10]提出了最优参数化的标准，并试图按这个标准对曲线的参数化进行优化。对于代数曲线的参数化，无论是评判标准还是计算过程，都过于复杂。

为此，本文提出以参数曲线切矢量模的最大和最小值的比与1的接近程度作为衡量参数化是否为最优的评判标准，并在此标准下构造出任意一段二次曲线的最优或逼近最优的有理参数化方程。大量实例表明，本文方法可以达到或接近于最优标准，且计算量小，效率高，具有较强的自适应性。

1 本文算法

在 CAGD和 CG中常用到代数曲线的某一段，而不是整条曲线。本算法基本解决了平面二次代数曲线上任一段曲线的最优参数化问题。

1.1 最优参数化

1.2 算法描述

算法的基本思想是：过A点构造一簇直线，参数方程P(t)即是这簇直线和代数曲线f ( x,y)=0的异于A的交点。

由于曲线 C : f( x, y) = 0 过A点，其方程可写成以下形式

这条直线与曲线 f (x,y) =0有 2个交点，其中之一为点A。从而，由式(1)、(3)可得曲线段AB对应于参数[0,1]的二次有理参数方程

定理 1 对于一段圆弧，椭圆或双曲线上的具有对称性质部分的有理参数化，用本文算法得到的就是按1.1节中评判标准的最优结果。

证 明 在二次代数曲线上任取一个异于AB的点E，F =(1-t)A+tB(t∈[0,1])是线段AB上的点，经过点E、F的直线与二次曲线必有二个交点，P(t)即是这簇直线和代数曲线f(x,y)= 0 的异于E的交点。这个过程可以解释为，以E为视点，弧AB在线段AB上的透视投影。事实上，二次代数曲线的任意有理参数化都可以按上述方式解释。显然，若弧AB有对称性，当E取为AB的垂直平分线与二次曲线的不在弧AB上的交点时，为最优的有理参数化表示。此最优的参数化表示与将入方程(4)得到的结果相同。

证毕。

当θ＞90°时，即AB曲线段相对弯曲较大时，任意的有理参数化结果都不理想，例如，对3/4圆弧，此情况下，可对其分段后再进行有理参数化。

2 实例分析

2.1 实例 1

t等距选取时计算出的参数点如图1中实心较大方点所示, 此时

图1 1/4圆弧的参数化对比效果图

2.2 实例 2

用传统有理参数化方程，即

图2 椭圆弧的参数化对比效果

t等距选取时计算出的参数点如图2实心较大方点所示, 此时Γ(P(t))≈1.23。

3 结 论

本文提出了新的平面代数曲线最优有理参数化的评判标准。从理论上讲，最优有理参数化方程可求，但是计算量非常巨大。本文构造出平面二次代数曲线上任一段曲线的十分接近于最优的有理参数化方程，所用计算量小，效率高，具有较强的自适应性。特别是当所求曲线段是一段圆弧，或者是椭圆或双曲线上的具有对称性质的部分时，得到的就是按1.1节中评判标准的最优有理参数化。

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