一个超混沌Lorenz系统的全局指数吸引集及应用

胥红星

(郑州航空工业管理学院，郑州 450046)

混沌是一种非常普遍的非线性现象，广泛地存在于自然界中。自从Lorenz［1］发现了第一个混沌吸引子以来，许多新的自治混沌系统也相继被提出，如 Rossler系统［2］、Chen 系统［3］、Lü 系统［4］、统一混沌系统［5］、Chua 系统［6］等。在过去的几十年里，混沌理论得到了深入的研究，并被广泛应用到各个领域。

混沌系统是有界的，这在混沌的定性分析中发挥着重要作用。可以断定在一个混沌的有界集合之外不会存在该系统其他的平衡位置、周期解、概周期解、游荡回复解和其他任何吸引子，这为从数学理论上严格证明混沌吸引子的存在性提供了进一步的可能性。然而对于一个混沌的界的估计往往是很困难的，目前混沌系统所得到界的范围绝大部分局限于数值模拟结果，从理论上是很有限的。对于著名的Lorenz系统，文献［7-8］研究了其界所在的范围，且解决了包含典型吸引子的情况。秦文新［9］给出Chen系统的一个界，但条件较强，且参数范围没有包括典型吸引子的参数。文献［10-13］研究了其他一些混沌系统的有界性。对于著名的Lü系统，其混沌吸引子所在的范围还没有得到解决。与三维混沌系统相比，四维超混沌系统含有2个正Lyapunov指数，具有更为复杂的动力学行为，其界的研究将更为困难，目前仅有 Lorenz-Haken 系统［14］和 Lorenz-Stenflo系统［15］得以研究。本文考虑超混沌系统［16］:

1 超Lorenz混沌系统的全局指数吸引集

记 X∈R4，X= (x1，x2，x3，x4)为系统的状态向量，t0＞ 0 为初始时刻，X(t，t0，X0)表示满足X( t0，t0，X0)=X0系统的解。

图1 混沌系统的吸引

图2 当d∈［-2，-0.5］时系统(1)的分岔

图3 当d∈ [ -2，-0.5]时系统(1)的Lyapuno指数

定义1［10］若在 R4内存在一个紧集 Ω，使得对于∀X0∈R4，当 t→ + ∞ ，恒有

成立，则称Ω为系统(1)的一个全局吸引集，即系统(1)是最终有界的。若对∀X0∈Ω，当t≥t0时，恒有 X( t ，t0，X0)⊆Ω，则称 Ω 为系统(1)的一个正向不变集。

定义2［10］若有一个广义正定、径向无界的Lyapunov函数V( X)，且存在α ＞0，L＞0，对于∀X0∈R4，当 V( X0)＞L，V ( X( t))＞L时，存在指数估计式

则称 Ω:= {X V( t)≤L，t≥t0}为系统(1)的一个全局指数吸引集。

定理1 设 a＞1，b＞0，c＞0，d＜ -0.5，则

为系统(1)的全局指数吸引集和正向不变集，其中

证明

令g( z)= ( 1 -b)z2+c( b -2)z+c2，下面估计g( z)在区间I=[0，c]上的最大值。

3)当 0＜b＜1时，类似可得 maxg(z)=g(0)=c2，而当b=1和b=2时，易证maxg( z)=c2。

对系统(1)的第2、3个方程选取广义正定径向无界的Lyapunov函数:

沿着系统(1)的轨线有

根据式(2)可得:

利用比较定理对式(3)两边积分有

从而当V( X0)＞L，V( X( t))＞L时，有全局指数估计式

对式(4)两边去上极限可得:

对系统(1)的第4个方程作径向无界的正定Lyapunov函数:

同样利用比较定理对两边积分有

最后，对系统(1)的第1个方程作径向无界的正定Lyapunov函数:

类似可得

综上可得，Ω为系统(1)的全局指数吸引集和正向不变集。

2 在同步中的应用

令系统(1)为驱动系统，响应系统为

令 e( t)= ( e1，e2，e3，e4)T=(x1-x，y1-y，z1-z，w1-w)T，则误差系统为

其中 ui(t)，i=1，2，3，4 为反馈控制器。

定理2 设，选取如下控制器设计

证明选取广义Lyapunov函数

其中ρ＞0，则V沿着系统(6)的轨线对时间t求导得:

其中

易得，当

时，矩阵P正定。

如果M2、M3能够得到，那么反馈控制量就可相应的被确定。然而对于一般的混混系统很难得到M2，M3的精确值，通常在实际操作中可以通过数值模拟给出一个估计值，但数值模拟只能模拟有限的时间内变量y、z的所在的范围，严格讲并不是变量y、z真正的界的范围。本文中可以通过准确计算得出y、z的界M2、M3。从而可以找到精确的反馈系数k。由定理1得

所以

式(7)表示式(6)的零解是指数稳定的，从而系统(1)与系统(5)是全局指数同步的。

3 数值模拟

为了验证理论结果，用Matlab程序进行数值仿真。在仿真过程中驱动系统和响应系统初值为(1 ，1，1，1)和 ( -1，4，0，2.5 )，选取参数 a=10，b=根据定理 2 可选择 k=131，则驱动系统(1)和响应系统(5)是全局同步的。图4表示在控制器1)下系统(1)和系统(5)的同步效果，图5表示在控制器2)下系统(1)和系统(5)的同步效果。

图4 反馈控制1)下的同步误差

图5 反馈控制2)下的同步误差

4 结束语

本文借助于广义Lyapunov函数理论，采用分区域的方法研究了一个超混沌系统在a＞1，b＞0，c＞0，d＜-0.5的全局指数吸引集，也即是混沌的解的范围，包含了典型吸引子的情况。利用得到的界，设计了2个简单的反馈控制器，实现了系统的同步。最后通过数值仿真验证了设计控制器的可行性。

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