储油罐变位识别与罐容表标定的积分应用

谢俊鹏，廖大成，熊 杰，马 翠

(第三军医大学 a.学员旅十三队;b.数学与生物数学教研室，重庆 400038)

加油站的储油罐一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，其原理是采用流量计和油位计来测量进出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表(即罐内油位高度与储油量的对应关系)进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。然而，许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置发生纵向倾斜和横向偏转等变化(以下称为变位)，从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表重新进行标定。针对该问题，作如下假设:储油罐变位时未发生形变;储油罐在进出油过程中形状保持不变;室外温度的变化对油体积变化的影响忽略不计;油罐壁光滑均匀、忽略壁厚。

1 小椭圆型储油罐变位识别与罐容表标定

1.1 罐体无变位时

小椭圆型储油罐(两端平头的椭圆柱体)的罐体可以被看成是一段卧置的椭圆柱体，其正面、截面示意图如图1所示。

图1 小椭圆型储油罐正面、截面示意图

以小椭圆的长轴所在直线为x轴，罐体水平卧置时油浮子所在直线为y轴，罐体的中心轴线为z轴，3条轴线的交点为原点O，建立如图2所示坐标系。

设储油罐截面的椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，罐内油位的高度为H，此时相应的罐内储油量为V(H)，则有截面的椭圆方程:

本问题归结为求储油罐内油品体积与油品液面高度的函数，即:

其中:H=0，V(H)=0;H=2b，V(H)max=f(2b)。

图2 小椭圆型储油罐坐标系

设储油罐内油位高为H时油面与椭圆截面的交点坐标为(x，y)，储油罐罐体长为 L，Sxy表示罐内油位高为H时，油面沿y轴方向纵截面的面积，h0表示油位高为H时，油面在坐标系内的y轴坐标，即:

根据微元法的思想及定积分的概念，有面积元素

由式(1)可得

联立式(1)～(5)可解得

储油罐内油位高度为H时的储油量为

现可知，a=0.89 m，b=0.6 m，L=2.45 m，联立式(2)、(3)、(6)、(7)，代入相应的数值，可得V(H)与H之间的关系为

其中0＜H≤1.2。

1.2 罐体纵向变位后

当倾斜角α存在时，储油罐发生纵向变位，此时可建立如图3所示坐标系。

图3 储油罐倾斜后的正面示意图坐标系

图3中的z1，-z2分别表示油罐两端在z轴上投影点的z坐标，z0表示储油罐倾斜后任意纵截面与z轴交点的z坐标，此时该截面上的油位高度为hy。

采用与建立储油罐无变位时模型相同的思想，即可求出当储油罐纵向倾斜时，储油罐纵截面的面积表达式Sxy以及罐内储油量表达式V(H)与油位计测量出的罐内油位的高度H之间的关系。

当储油罐处于纵向倾斜变位时，可将储油罐罐体划分为5个区域(如图3所示)，其中每一个区域都是能反映罐容表对罐内储油量测量的作用区域。

由式(3)以及对图3的综合分析可知，在坐标系中无论h0取何值，H与h0之间的关系始终为

因而，可用h0与V(H)关系来代替讨论H与V(H)之间的关系。

现对图3中的5个区域逐一进行分析:

1)当h0≤-b时，由于油位计不能测量出罐内油面的实际高度，使罐容表不能测量出罐内的储油量，出现罐容表的第1个测量盲区(图3中区域Ⅰ下方的测量盲区)，此时V(H)与h0无关。

2)当-b＜h0≤z1tanα-b时，罐容表的作用区域为图3中的区域Ⅰ。

3)当z1tanα-b＜h0＜b-z2tanα时，罐容表的作用区域为图3中的区域Ⅱ。

4)当b-z2tanα≤h0＜b时，罐容表的作用范围为图3中的区域Ⅲ。

5)当h0≥b时，H=2b，由于罐体纵向倾斜，储油罐不能继续进油，罐容表的测量值达到最大值，此时储油罐并未装满，罐容表出现第2个测量盲区(即图3中区域Ⅲ上方的测量盲区)，罐中的储油量为

综上所述，当储油罐罐体纵向倾斜后，储油罐内的油位高度H与罐内储油量V(H)之间的关系为

其中H=h0+b，即V(H)反映了储油罐罐体变位后对罐容表的影响。

1.3 罐体纵向变位后罐容表的标定

利用罐体纵向倾斜后油位高度标定罐容表的数学模型，即式(9)，可以给出油位高度间隔为1 cm的罐容表标定值(油位高度从1～120 cm)，如表1所示。

1.4 标定效果检验及误差分析

根据储油罐倾斜变位进油的相关数据，对所建立的罐体纵向变位后罐容表标定模型进行效果检验及误差分析，分别计算出罐内油位高度的标定值与实际测量值之间的绝对误差δ与相对误差η，经计算可知45 ＜ δ＜92，1.5% ＜η ＜5.5%，误差较大。对不同的油位高度H与绝对误差δ两项进行分析，可以求得H与δ之间的关系为

利用式(9)、(10)可求出不同的H所对应的V(H)与 δ，根据 V'(H)=V(H)-δ，即可得到对罐容表标定出来的V(H)修正后的修正值V'(H)。再对修正后的V'(H)进行误差分析，此时各组数据的相对误差η≤1.5%，说明此时模型效果较好。

表1 油位高度间隔为1 cm的罐容表标定值

对表1得出的罐容表标定值进行修正，得到的修正值如表2所示。

从修正结果来看，修正效果明显的是储油罐油位高度在25～113 cm内的标定值。

油罐出油时的模型检验及修正与油罐入油时的模型检验及修正方法一致，在此不再赘述。

表2 修正后油位高度间隔为1 cm的罐容表标定值

2 实际储油罐变位识别与罐容表标定

2.1 罐体水平卧置时

当实际储油罐水平卧置时，参照问题1中同一背景下类似问题的思想与解法，可建立实际储油罐水平卧置时V(H)与H之间的关系模型，此时油罐的截面为圆面，建立如图4所示的坐标系。

图4 实际储油罐平卧时的坐标系

已知2R=3，L=8，c=1，其中 c为球冠体的高，设Va(H)、Vc(H)为油罐左右两端球冠体的储油量，Vb(H)为圆柱体的储油量，V(H)为油罐储油量，油罐水平卧置时有:

1)当-R＜h0≤0时，

2)当0＜h0≤R时，

2.2 罐体纵向倾斜变位

罐体纵向倾斜变位后，以罐体上油浮子与油位探针所在直线为y轴，罐体的中心轴线为z轴，2条轴线的交点为原点O，过原点O垂直于罐体yOz平面的直线为x轴，建立如图5所示的坐标系。

图5 储油罐纵向倾斜正面示意图坐标系

当储油罐处于纵向倾斜变位时，可将储油罐罐体划分为7个区域(如图5所示)，其中每一个区域都是能反映罐容表对罐内储油量测量的作用。

通过对式(3)及图5的分析可知，在坐标系中无论h0取何值，H与h0之间仍然满足关系式:

因而，可用h0与V(H)关系来代替讨论H与V(H)之间的关系。

现对倾斜后油罐上半部分的球冠体进行单独分析，球冠体在yOz平面的投影如图6所示。

图6 球冠体在yOz平面的投影

根据图形几何关系可求得球冠体的半径、球冠体方程。

通过对图5进行进一步分析可知，若对图中所示的各个区域分别积分，则运算麻烦，且不易实施。故可以将倾斜后的罐体分为3个部分，即右侧球冠体、圆柱体、左侧球冠体。

此时，对罐体的3个部分分别进行分析与讨论，分别求出罐体3个部分的体积为 Va(H)、Vb(H)、Vc(H)。

现对罐体3个部分进行分析，得:

1)左侧球冠体

① 当-R＜h0≤-(1+z2)tanα 时，

② 当-(1+z2)tanα ＜h0≤R-z2tanα 时，

③ 当R-z2tanα ＜h0≤R时，

2)中间部分(圆柱体)

① 当-R＜h0≤z1tanα-R时，

② 当z1tanα-R＜h0≤R-z2tanα时，

③ 当R-z2tanα≤h0≤R时，

3)右侧球冠体

① 当z1tanα-R＜h0≤(1+z1)tanα 时，

② 当(1+z1)tanα ＜h0≤R时，

根据上述分析，可知罐体倾斜后的总储油量为

现对图5中的7个区域逐一进行分析，结果如下:

1)当h0≤-R时，罐容表无法测量出罐内的储油量，罐容表的工作区域为测量盲区Ⅰ;

2)当 -R＜h0≤z1tanα-R时，V(H)=Vb(H)+Va(H)，罐容表的工作区域为区域Ⅱ;

3)当z1tanα-R＜h0≤ -(1+z2)tanα时，V(H)=Va(H)+Vb(H)+Vc(H)，罐容表的工作区域为区域Ⅲ;

4)当-(1+z2)tanα＜h0≤(1+z1)tanα时，V(H)=Va(H)+Vb(H)+Vc(H)，罐容表的工作区域为区域Ⅳ;

5)当(1+z1)tanα＜h0≤R-z2tanα时，V(H)=Va(H)+Vb(H)+Vc(H)，罐容表的工作区域为区域Ⅴ;

6)当R-z2tanα＜h0＜R时，V(H)=Va(H)+Vb(H)+Vc(H)，罐容表的工作区域为区域Ⅵ;

7)当h0≥R时，罐内储油量无法测量，罐容表的工作区域为测量盲区Ⅶ。

2.3 罐体横向偏转变位

罐体横向偏转后，罐体截面示意图如图7所示。

图7 储油罐横向偏转后截面示意图

分析图7可得，储油罐水平偏转后油面坐标h0与油位计的示数h'以及水平偏转角之间的关系为

又有H=h0+R，可得储油罐内油位高度H与水平偏转角β之间的关系为

将式(10)代入本文2.2节中所建模型，即可得出H、V(H)与偏转角 α、β之间的关系。利用 H、V(H)与α、β之间的关系式，即可确定油罐在不同油位高度H时所对应的储油量V(H)。

2.4 罐体变位参数的确定

由本文2.2节与2.3节的分析结果可知，H、α、β共同作用于V(H)，综合罐体内油位高度H以及油罐纵向倾斜变位与横向偏转变位对油罐储油量的影响，可得油罐的储油量为V(H，α，β)。

由于利用积分的方法求解变位参数α、β运算复杂且不易实施，故通过设定参数(α，β)的取值范围，借助遍历搜索算法，最终可确定出储油罐的变位参数α、β，具体作法如下:

利用相关数据信息，当对储油罐进行加油或者放油操作时，相邻的2个操作流水号之间油罐的实际进油量或出油量为ΔVT(n)，即油位高度变化ΔH时的储油量变化ΔV(H)。例如，当储油罐在流水号为201与202之间进行操作时，油罐内油量的变化为ΔVT(202)=149 L，此时将2个操作流水号所对应的油位高度H201与H202代入V(H，α，β)的表达式中，不断对α、β赋值，就可以得到不同变位情况下储油罐的进出油量计算值ΔVC(202)。采用相同的方法不断对α、β赋值，分别求出不同流水号时的储油罐内油量变化的实际值ΔVT(n)与理论值ΔVC(n)，当α、β取不同值时ΔVC(n)与ΔVT(n)之间总的相对误差最小，所对应的α、β即为油罐的变位参数，即目标函数为

由于ΔVT(n)=VT(n)-VT(n-1)，不同组数据叠加后将会前后抵消，因而使得目标函数中的大部分数据相互抵消，使结果的准确性大大降低。为提高数据利用率以及结果的准确性，选取参考数据中的前400组数据，并将其等分为2组。

令 ΔVT(n)=VT(m+200)-VT(m)，1≤m≤200，则目标函数变为

在 0≤α≤4°，0≤β≤5°内，以步长 0.1 进行遍历搜索，即可求出α、β的近似最优解，最终确定储油罐的变位参数为 α≈3.4°，β≈2.8°。

2.5 罐体变位后罐容表的标定

将求解出的α、β值分别代入本文2.2节中7个区域的H与V(H)关系式，即可求得油罐在各个区域的储油量V(H，α，β)，即V(H)，进而可以确定罐体纵向倾斜与横向偏转后油位高度标定罐容表的数学模型，并可以给出油位高度间隔为10 cm的罐容表标定值(油位高度10～300 cm)，如表3所示。

2.6 罐容表的标定效果检验及误差分析

对现有数据进行分析可知，H与V(H)的参考值绝大多数落在本文2.2节中所建模型7个区域中的Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ区域。为保证所得罐容表标定值具有普遍适用性，故在Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ区域中均匀选取4个不同的油位高度H，并利用油罐变位后罐容表的标定模型求出相应的储油量 V(H)，如表4所示。

表3 油位高度间隔为10 cm的罐容表标定值

将罐容表的标定值与题中给出的油罐出入油量进行比较，并用逐差法进行误差分析，具体做法如下:

将计算所得12个数据依次编号为(1)～(12)并进行分组，其中(1)～(6)为第1组，(7)～(12)为第2组。用第1组中的数据减去第2组中的数据求得不同ΔH下的ΔV(H)，并与所给的同一ΔH下实际油量变化值ΔV(H)求相对误差η，最后累加求出平均相对误差，结果如表5所示，其中

表4 不同油位高度的罐容表的标定值

表5 不同油位高度的罐容表的标定值

3 结束语

采用微元法的思想建立了储油罐在未变位及变位2种情况下油位高度与储油量之间的数学模型，结合实验和实际测量的数据，分析讨论小椭圆型油罐和实际油罐的变位问题，对变位时罐容表进行了标定，并对模型的可靠性、正确性及结果的误差进行了分析。结果表明，模型能够较好地解决实际问题，具有较强的实际意义。

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