Banach空间范数的k-点态粗性和k-粗性

义德日胡,苏雅拉图

(内蒙古师范大学数学科学学院,内蒙古呼和浩特 010022)

Banach空间范数的k-点态粗性和k-粗性

义德日胡,苏雅拉图

(内蒙古师范大学数学科学学院,内蒙古呼和浩特 010022)

对Banach空间范数引入了k-点态粗和k-粗的概念,利用Banach空间理论的方法,给出了x∈S(X)为范数的k-粗糙点和X的范数是k-粗的一些充分必要条件,证明了(k+1)-粗糙点是k-粗糙点以及k-粗糙点与Frˊechet可微性的一些结果.特别地,在k=1的情形下蕴含了关于范数的粗糙点、点态粗范数和粗范数的相应结果.

k-粗糙点；k-点态粗；k-粗；k-粗指数；Banach空间

1 引言

Banach空间范数的可微性一直是Banach空间几何学的主要研究对象之一.经过多年来的研究,人们对Banach空间范数的Frechet可微和Gateuax可微等性质已比较清楚.为了研究光滑性较差的Banach空间范数的性质,1972年文献[1]中定义了Banach空间的粗范数,文献[2]中引进了强粗范数的概念,文献[3]中进一步研究了粗范数和强粗范数,而且这两个概念对刻画光滑性较差的Banach空间的性质起了很大的作用.文献[4]引进了范数的粗糙点与点态粗的定义,并给出了范数的点态粗和粗范数的等价刻画.此后,数学工作者对这几种粗性进行了研究,得到了一些研究结果,如文献[5-7]等.总而言之,粗性是Banach空间的重要几何性质,它与范数的各种可微性质有密切的联系,因此也得到了深入的研究,并对Banach空间几何理论的发展起到了促进作用,但之后的相当一段时间内并未出现光滑性更差的Banach空间的研究.本文在文献[4]的基础上作为粗糙点、点态粗和粗的相应推广引进了k-粗糙点、k-点态粗和k-粗的概念,并给出了x∈S(X)为范数的k-粗糙点和X的范数是k-粗的若干充要条件；证明了(k+1)-粗糙点是k-粗糙点；引进了k-粗指数的概念,并给出了它与k-粗糙点和k-点态粗的关系.

2 主要结论及其证明

证明证明类似于定理2.2的证明.

定理2.6Banach空间X的范数是(k+1)-粗的,则X的范数是k-粗的.

证明证明类似于定理2.3的证明.

定义2.6设X是Banach空间,命满足定义2.3条件的非负数ε的上确界为x∈S(X)的k-粗指数,记为εk(x).

定理2.7设X是Banach空间,x∈S(X)为范数的k-粗糙点当且仅当εk(x)＞0.

证明必要性.因x∈S(X)是范数的k-粗糙点,故存在满足定义2.3条件的非负数ε,从而εk(x)＞0.

充分性.因εk(x)＞0,故存在满足定义2.3条件的非负数ε,即x∈S(X)是范数的k-粗糙点.

同理利用k-点态粗的定义得到如下定理.

定理2.8Banach空间X的范数为k-点态粗当且仅当∀x∈S(X),有εk(x)＞0.

[1]Leach E B,Whitfield J H M.Differentiable functions and rough norms on Banach spaces[J].Proc.of the Amer.Math.Soc.,1972,33(1):120-126.

[2]John K,Zizler V.On rough norms on Banach spaces[J].Comment.Math.Univ.Carolinae,1978,19:335-349.

[3]Godini G.Rough and strongly rough norms on Banach spaces[J].Proc.of the Amer.Math.Soc.,1983,87:239-245.

[4]李小建.Banach空间范数的粗性与不可微性[J].数学年刊:A辑,1987,8A(5):621-625.

[5]黎永锦.Banach空间凸性和光滑性的若干问题[D].哈尔滨:哈尔滨工业大学图书馆,1992.

[6]丘京辉.关于粗范数的注记[J].苏州大学学报:自然科学,1994,10(1):8-15.

[7]欧阳自根,罗李平.Banach空间范数的粗范数[J].长沙电力学院学报,1998,13(2):129-131.

[8]苏雅拉图,李广利.关于k-极凸空间的几点注记[J].数学杂志,2011,31(1):181-190.

k-pointwise roughness and k-roughness on Banach spaces

Yiderihu,Suyalatu

(Mathematics Science college,Inner Mongolia Normal University,Huhhot010022,China)

In this paper,the k-pointwise rough and k-rough norm on Banach space are introduced.By the method of Banach space theory,the some necessary and sufficient conditions of k-rough point of norm and krough norm of X are given respectively.We proved that(k+1)-rough point is k-rough point and obtained some results related with k-rough point and Frˊechet differentiability.In particular,when k=1 our results contains the results of about rough point of norm,pointwise rough norm and rough norm.

k-rough point,k-pointwise rough,k-rough,k-rough index,Banach space

O177.2

A

1008-5513(2012)04-0553-06

2012-02-16.

国家自然科学基金(11061022).

义德日胡(1987-),硕士生,研究方向：Banach空间理论.

2010 MSC:46B25