初始的L-外部空间

马英,李令强,孟广武

(聊城大学数学院,山东聊城 252059)

初始的L-外部空间

马英,李令强,孟广武

(聊城大学数学院,山东聊城 252059)

研究了初始的L-外部空间.构造了L-外部空间范畴的初始结构,并由此定义了L-外部空间的乘积结构和子空间结构,证明了L-外部空间范畴是L-预外部空间范畴的余反射子范畴.

L-外部空间;L-拓扑空间;初始的L-外部空间

1 引言及预备

自从文献[1]把模糊集理论引入拓扑以来,很多学者从不同的角度出发讨论了各种各样的模糊拓扑理论[15].按照H¨ohle[5]的概念和符号,根据模糊化程度的不同模糊拓扑可以分为三种类型:(1)L-拓扑(集合是模糊的拓扑是分明的);(2)Fuzzifying拓扑(集合是分明的拓扑是模糊的);(3)L-模糊拓扑(集合和拓扑都是模糊的),其中L为某个格结构.同时,人们还研究了比模糊拓扑更为广泛的空间结构,比如L-闭包空间、L-内部空间[38]、L-保序算子空间[9]等.文献[10]引入了L-外部空间的概念,并且证明了逆幂等的L-外部空间与L-拓扑空间是一一对应的.本文将继续对这一概念展开讨论,构造了L-外部空间范畴的初始结构,并由此定义了L-外部空间的乘积结构和子空间结构,证明了L-外部空间范畴是文献[11]的L-预外部空间范畴的余反射子范畴.

如未加说明,本文中的L表示带有逆序对合对应完备的Heyting代数.有关L-拓扑的概念和结论请参考文献[4-6],有关范畴的概念请参考文献[12].

定义1.1[5]设f:X→Y是普通映射,则f诱导出一个从LX到LY的序同态,称为L-值Zadeh型函数,记作f→:LX→LY,这里

定义1.2设(X,e1)与(Y,e2)为两个L-外部空间,f:X→Y是普通映射.称f为连续的.若∀B∈LY,有

2 主要结果

定义2.1[10]设X为非空集,称映射e:LX→LX为X上的一个L-外部算子若:

(1)e(0)=1;(2)e(A)≤A′;(3)e(A∨B)=e(A)∧e(B),称序对(X,e)为L-外部空间,如果:(4)e((e(A))′)=e(A),称e为逆幂等的.

定义2.2[11]称映射e:LX→LX为X上的一个L-预外部算子,如果它满足定义2.1中(1),(2),(4)和条件(3):e是逆序的,即当A,B∈LX且A≤B时,e(A)≥e(B).

定理2.1[10]设(X,δ)是一个L-拓扑空间,则映射eδ:LX→LX,

为X上的一个L-外部算子.

定义2.3设e1与e2均为X上的L-外部算子,称e1比e2细(或e2比e1粗)若e1≥e2.

定理2.2设{(Xi,ei)}i∈Γ为一族L-外部空间,X为一集合,fi:X→Xi,(i∈I}为一族映射.定义映射e:LX→LX如下:

其中第一个∨是对所有满足条件

的集族来取的,则下列结论成立:

(1)e是X上使得所有fi(i∈Γ)都连续的最粗的L-外部算子;

(2)若{(Xi,ei)}i∈Γ是拓扑的,e也是拓扑的;

(3)设(Y,e*)为L-外部空间,则映射f:(Y,e*)→(X,e)连续当且仅当∀i∈Γ,映射fi◦f:(Y,e*)→(Xi,ei)连续.

证明(1)(I)先证e是L-外部算子.

①e(0)=1.任取集族

故f连续.

记由L-外部空间和连续映射构成的范畴为L-ES.

定理2.3遗忘函子U:L-ES→SET,U(X,e)=X,U(f)=f是拓扑的.

证明由定理2.2知每一个U-source(fi:X→U(Xi,ei))i∈Γ都有一个唯一的U-初始的提升(fi:(X,e)→U(Xi,ei))i∈Γ,其中e如定理2.2所定义.

由定理2.2和定理2.3得如下定义:

定义2.4设{(Xi,ei)}i∈Γ为一族L-外部空间,X为一集合,fi:X→Xi,(i∈I}为一族映射.X上关于(X,fi,(Xi,ei))(i∈Γ)的初始的L-外部算子结构为使得所有fi都连续的最粗的L-外部算子.

定义2.5设{(Xi,ei)}i∈Γ为一族L-外部空间,

为X1,X2,…,Xn的笛卡尔积.任取i∈I,取fi=pi为投射,称(X,e)为{(Xi,ei)}i∈Γ的乘积空间,其中e为X上关于(X,fi,(Xi,ei))(i∈Γ)的初始的L-外部算子结构.

定义2.6设(X,e)为L-外部空间,Y⊆X,idY:Y→X为含入映射.称(Y,^e)为(X,e)的子空间,其中^e为Y上关于(Y,idY,(X,e))的初始的L-外部算子结构.

推论2.1设{(Xi,ei)}i∈Γ为一族L-预外部空间,X为一集合,fi:X→Xi,(i∈I}为一族映射.定义映射e:LX→LX如下:

其中第一个∨是对所有满足条件

的集族来取的.则下列结论成立:

(1)e是X上使得所有fi(i∈Γ)都连续的最粗的L-外部算子;

(2)设(Y,e*)为L-外部空间,则映射f(Y,e*)→(X,e)连续当且仅当∀i∈Γ,映射fi◦f:(Y,e*)→(Xi,ei)连续.

证明注意到定理2.2的(1)中证明只用到了L-外部算子的逆序性,并未用到其并交性质.同样,在(3)中也只用到了e的逆序性(当然用到了e*的交并性).

设(X1,e1)为L-预外部算子空间,f1=idX1,e如上面推论所定义,记为c(e1).任取L-外部算子空间(Y,e*)和连续映射f:(Y,e*)→(X1,e),由推论2.1知下图交换:

推论2.2L-ES是L-PES(L-预外部空间范畴)的余反射子范畴.

[1]Chang C L.Fuzzy topological spaces[J].JMAA,1986,24(2):37-42.

[2]Y ing Mingsheng.A new app roach for fuzzy topology(I)[J].Fuzzy Sets and System s,1991,39:303-321.

[3]Liu Yingm ing,Luo Maokang.Fuzzy Topology[M].Singapore:World Scientific,1997.

[4]王国俊.L-fuzzy拓扑空间论[M].西安:陕西师范大学出版社,1988.

[5]H¨oh le U,ˇSostak A.Axiomatic foundation of fixed-basis fuzzy topology.In Mathematicsof Fuzzy Sets,Logic, Topology and Measure Theory[M].Boston:K luwer Academ ic Pub lishers,1999.

[6]尤飞.LF-闭包空间及其连通性[J].陕西师范大学学报:自然科学版,2001,29(1):23-29．

[7]K im Yongchan.Initial L-fuzzy closure spaces[J].Fuzzy Sets and System s,2003,133:277-297.

[8]Shi Fugui.L-fuzzy interiors and L-fuzzy closures[J].Fuzzy Sets and System s,2009,160:1218-1232．

[9]韩红霞,孟广武.L-保序算子空间的ϖ-紧性[J].纯粹数学与应用数学,2009,25(2):390-395．

[10]马英,孟广武.外部算子及其应用[J].聊城大学学报:自然科学版,2010,23(4):21-23．

[11]钟晓静,苏华飞,李生刚.用L-预远域系算子、L-预外部算子或L-预边界算子确定L-预拓扑[J].模糊系统与数学,2008,22(2):87-91．

[12]贺伟.范畴论[M].北京:科学出版社,2006.

Initial L-exterior spaces

Ma Ying,Li Lingqiang,Meng Guangwu
(Department of Mathematics,Liaocheng University,Liaocheng 252059,China)

The initial L-exterior spaces are discussed.We construct the initial structure of the category of L-exterior spaces,and then define p roduct space and subspace of L-exterior spaces by the initial structure,p rove the category of L-exterior spaces is a coreflective subcategory of the category of L-p reexterior spaces.

L-exterior spaces,L-topological spaces,initial L-exterior spaces

O189.1

A

1008-5513(2012)03-0384-07

2011-02-10.

国家自然科学基金(60875034).

马英(1986-),硕士生,研究方向：格上拓扑学.

2010 MSC:54A 10