量子逻辑、量子悖论与量子疑难

万小龙，李福勇

（华中科技大学哲学系，湖北 武汉 430074）

作为近百年来最重要和最令人着迷的严密物理学理论，量子力学的解释问题不仅是当代哲学中持续活跃的主题之一，还为其他两类严密科学（数学与现代逻辑）的发展提供了许多新的研究课题。在众多量子力学的解释群中，量子逻辑群的优势不仅在于它对量子疑难的解释力，还尤其在于这种研究途径最能体现前述三大严密科学的结合，其中产生的新成果最终将导致全新的哲学思想的诞生。

今天我们可以把为了解释各种量子疑难（包括所谓的量子悖论）而发明或创立的量子逻辑群总结为四类：（1）冯·诺意曼等开创的量子格论学派；（2）莱欣巴赫为代表的多值量子逻辑学派；（3）玻尔等学者坚持的互补性辩证逻辑学派；（4）范·弗拉森原创的模态逻辑解释学派。本文先总结这四类量子逻辑主要的非经典逻辑观点，并指出各自产生的原因，再从更高的普遍性层次分析它们对量子疑难的解决已经具有的成绩和不足。

一、冯·诺意曼量子逻辑释疑

冯·诺意曼等开创的格论量子逻辑主要是为了解决所谓的“经典逻辑的分配律在量子命题不再有效”问题[1]823～843。我们暂时撇开冯·诺意曼格论量子逻辑系统的具体内容，而注重分析他们是如何认为量子力学语言具有不遵守经典逻辑的分配律的特征的，最典型的是关于电子自旋问题的解释。下面一自然段的内容经常出现在冯·诺意曼量子逻辑学派的文本中[2]52～54。

如以子空间p表示命题“自旋x分量向上”，q表示命题“自旋y分量向上”，r表示命题“自旋y分量向下”。那么，p∧（q∨r）就表示“自旋x分量向上（已确定）而且y分量或者向上或者向下”。这个量子力学命题是能够成立的，因为自旋是量子化的。如果沿任何指定轴去测自旋，其分量不是向上就是向下。说“向上或向下”并不意味着已经测定。另一方面，p∧q表示“自旋x分量向上同时y分量向上”，p∧r表示“自旋x分量向上同时y分量向下”。由于不确定关系的限制，要自旋x分量和y分量同时测定是不可能的。因此，照冯·诺意曼等人看来，经典逻辑中的等式p∧（q∨r）=p∧q∨p∧r在量子逻辑中不成立（I）：其左式可以为真，而右式永假，所以“量子力学语言中分配率失效”。

我们认为，当（I）的右式是永假时，（I）的左式也是永假的。因为“如果沿任何指定轴去测自旋，其分量不是向上就是向下”这句话并非是永真的！永真的是这句话：“如果仅沿任何一个指定轴去测自旋，其分量不是向上就是向下”。也就是说，q∨r为永真的条件是“仅沿y轴去测自旋”。反之，由于测不准关系的限制，如果q∨r为真，则p一定为假；同理，如果p为真，则q∨r一定为假。

也许有人说，等式左边讨论的“q∨r总是真”是“如果…测量…，那么…”而不是实际的测量时的“已确定”[3]123～124。我们的反驳是：照这种说法，左式讨论的是“如果…测量…，那么…”，而右式却讨论的是“实际的测量时的‘已确定’”。显然，左右式描述的不是同一个思维过程。

我们再看另一个有关“量子力学语言中分配率失效”的论证。我们转述普特南的双缝实验论证如下[4]174～179：

令A1表示“光子通过狭缝1”，A2表示“光子通过狭缝2”。那么，根据A1，光子撞击狭缝后照片屏上的狭小区域 R 的概率为 P（A1，R）；根据 A2，光子撞击 R 的概率为 P（A2，R）。现在，如果两个缝都开着，那么根据经典力学的预测，光子撞击 R 的概率应该为 1/2（P（A1，R）+P（A2，R））。然而，我们所观察到的概率并不是经典力学预测的这个概率，却是量子力学预测的概率，两者完全不同。我们来看经典力学是如何预测它的概率的。首先，光子撞击狭缝1的概率P（A1，R）是等于它撞击狭缝2的概率P（A2，R），无论在理论上或实验上都可以保证这一点。其次，既然我们认定光子或者通过狭缝1，或者通过狭缝2，也即析取式A1∨A2为真，那么就有（“·”表示量子合取）：

最后，我们看到上述推导中关键的一步就是（A1∨A2）·R扩展为A1·R∨A2·R。普特南认为，从量子力学的逻辑角度看，这个扩展是错误的，因此以上的推导也无效。换句话说，分配律在量子世界中失效。普特南认为，双缝实验表明微观世界的量子特征迫使我们不得不放弃一些经典逻辑规则。

我们认为，上述结论（5）非真并不是因为（4）的错，而是（2）的错。即从 P（A1）=P（A2）（2-1）到 P（A1∨A2）=2P（A1）=2P（A2）（2-2）的推理有一个隐藏的条件：

（2-1.5）在经典力学中是正确无误的，但在量子力学中不是。量子力学态函数是线性叠加的，而量子概率是态函数的平方的绝对值显然不是线性叠加的。没有可靠的根据表明“量子力学语言迫使我们不得不放弃经典逻辑分配律”。

本文第一作者运用从无特设条件而直接来自于对经典逻辑联接词的反函数研究而获得的一元算符逻辑理论细致研究了冯·诺意曼量子逻辑学派的经典文本中的各种常用量子格图，发现那里所谓的非分配性都是不可能存在的[5]29～38。

冯·诺意曼量子逻辑学派始终认为量子命题中有违背经典逻辑分配律的原因很可能是出于对“量子否定”定义时所涉及的“正交”与“正交补”问题的失误。例如，电子自旋问题中，当逻辑论域是“x方向的自旋”时，x方向的电子自旋向上和向下不仅是正交关系，而且是正交补关系，即经典否定关系；但当逻辑论域变为x方向加y方向时，x方向的电子自旋向上和向下就不再是经典否定关系，而是不可同真但可同假的合非为真关系。有趣的是，上述两种不同的逻辑论域中，x方向的向上的和向下的电子自旋的量子析取的“逻辑形式”以及相应的数学物理表述形式都是一样的。这实际上涉及的问题是“在同一逻辑过程，同一语句表达了不同的逻辑命题”的问题。当然，笔者会进行更为详细的研究。

在近些年的有关研究中，国外一些学者也注意到了这些问题。例如2008年元月在荷兰乌特勒支大学召开了国际“量子逻辑”大会之后，由著名逻辑学家范·本特和斯梅茨等人创立的将流行的Kripk可能世界模态语义学、新近发展出的动态逻辑和量子力学非经典信息论解释相混合的“非静态性”量子逻辑表示中，分配性原则仍然是成立的[6]285～306。

二、莱欣巴赫为代表的多值量子逻辑释疑

以莱欣巴赫为代表的多值量子逻辑主要是为了解决双缝实验“量子概率命题不遵守经典逻辑的排中律问题”。根据不确定原理，如果一个微观物理量的互补量已经被测量，那么这个微观物理量就没有确定值。海森堡等物理学家认为关于这些不可观察量的陈述是“无意义的”。但在赖欣巴赫看来，科学语言根本不包含任何无意义的陈述，他提出将关于不可测量的“无意义”命题称为“不确定”（indeterminate）命题。对这些“不确定”命题必须使用一种非经典的三值逻辑，即除了“真”和“假”两个真值，还需要增加第三个真值“不确定”。按照赖欣巴赫三值量子逻辑观点，双缝实验揭示出经典的排中律在量子世界中失效了[7]。

我们现在还是引用上节的电子自旋的例子来细致分析。p表示命题“自旋x分量向上”，q表示命题“自旋y分量向上”，r表示命题“自旋y分量向下”。那么，根据不确定关系，自旋x分量被测量到某个精确值向上或向下时，自旋y分量就没有精确值即它既不向上也不向下。海森堡等物理学家认为这个陈述是“无意义的”，而赖欣巴赫认为这个陈述是“有意义的”不过其逻辑真值是“真”“假”之外的第三值。现在我们从逻辑的角度看，“自旋y分量向上”为真，那么“并非自旋y分量向上”即“自旋y分量并非向上”就一定为假，而“自旋y分量向下”和“自旋y分量既不向上也不向下”都是“自旋y分量并非向上”的子类，所以它们也都为假。也就是说，“自旋y分量就没有精确值”这个陈述，对于“精确值”这个物理量来说，它的物理意义是“不确定”；但对于“自旋y分量有一个精确值”为真来说，它的逻辑真值意义是完全确定的“假”。

赖欣巴赫认为的“‘认定光子或者通过狭缝1，或者通过狭缝2，也即析取式A1∨A2为真’就是‘非此即彼的经典逻辑的真假二值模式’，并且它导致了预测的概率与观察到的概率不符，所以需要引入第三值来修正这种观念”的观点更是站不住脚。因为“光子或者通过狭缝1，或者通过狭缝2”成为“非此即彼的真假二值模式”有一个条件：“光子通过狭缝1”与“光子通过狭缝2”是相互经典否定的，而不是“或者，或者”的相容性析取。所以赖欣巴赫首先对经典力学视野的“双缝实验”的描绘是不精确的。当然，在量子力学视野中，“要么光子通过狭缝1，要么光子通过狭缝2”是非真的，但需要修正的并不是“非此即彼的经典逻辑的真假二值模式”，而是经典力学视野下的“两个非此即彼陈述构成的经典描述的形式”。也就是说这里的“光子通过狭缝1”和“光子通过狭缝2”在经典力学视野中总是一真一假关系，但在量子力学中却可能是同假关系。因为量子力学基本公理并不承诺未测量的微观粒子有运动轨道。

总之，在双缝实验中，只有同时既承认量子力学基本公理又承认微观客体具有不依赖于测量的经典粒子性时才构成逻辑矛盾。不过，同时承认这两者，就不是量子力学标准数学形式体系的推理。

三、互补型辩证量子逻辑释疑

玻尔等学者坚持的互补辩证逻辑主要是为了解决微观客体的“既是波又是粒子而不遵守经典逻辑的矛盾律”问题。

尼尔斯·玻尔的互补性思维起初认为：任何一个量子客体都具有二重性，即波粒二象性，任何实验都不能同时揭示出它既作为波又作为粒子的行为。因此，他把这种特征进一步阐释为“两种事物的互补又互坼”。1931年，查维尔斯基（Zawirski，Z.）在《卢卡西维奇的三值逻辑，对现代自然科学应用多值逻辑的尝试》一文中明确建议应将三值逻辑应用于量子力学。查维尔斯基的立论根据是量子力学的波粒二象性，他认为波粒二象性其实就是一个蕴涵了两个矛盾命题（为粒子性，为波动性）的命题。这种情形在二值逻辑中是绝对不允许的，因而查维尔斯基认为要解决这个两难推论，必须采用卢卡西维奇的新逻辑。之后，学界对“互补又互坼”的理解产生了更多混淆。

我们系统研究后认为，“光与某个条件形成的复合命题（或概念）为粒子”与“光与另一个条件形成的复合命题（或概念）为波”是不矛盾的。为什么我们说典型逻辑矛盾的互补辩证法理解或玻尔的互补论是含糊的甚至是似是而非的？因为互补论的基本意思是：两个事物或事物情况互坼又互补。笔者的分析是：互坼的是p和¬p，互补的是p与u的复合和¬p与v的复合。因此，玻尔大师及其追随者的“两个事物或事物情况互坼又互补”其实是“两个事物或事物情况的互坼，另两个事物或事物情况的互补”。

总之，“微观客体同时既是粒子又是波”是矛盾的也仅在“基本物质形态除了粒子就是波”这个论域中，况且量子力学基本公理没有蕴涵“微观客体同时既是粒子又是波”。在这些问题澄清以前，要审慎地将经典力学与量子力学的关系类比经典逻辑与量子逻辑的关系[8]。

四、范·弗拉森模态逻辑释疑

范·弗拉森原创的模态逻辑解释主要是为了解决狭义的量子力学哲学疑难，即量子测量问题、量子概率问题和全同粒子问题，其中在考虑测量仪器和被测微观客体的量子测量过程时标准数学理论的结果与相应实验结果之间的不协调导致的测量问题是关键。

量子测量的疑难是：按量子测量的数学理论，在测量物理相互作用结束时，被测客体和测量仪器处于相干的概率叠加态，而我们在测量结束时看到的仪器指针的读数是确定值，相应的被测客体和测量仪器的波函数各自为独立的本征态。因此，解决测量疑难也就是要说明：

（1）被测客体如何从理论上测量物理相互作用结束时与测量仪器相干的混态（v）变成为实际测量结束时独立的纯态（u）。

（2）被测客体如何从测量前的概率叠加态（s）变成测量结果的确定本征态。

范·弗拉森称自己的模态解释是哥本哈根变体，因为它用稍稍不同于正统解释的方式解决测量问题。他认为可以通过假设动力学态与值态的区别及其相互间的模态关系，取消冯·诺意曼的解释规则和投影假定，并且能正好重现玻恩规则的一切预言。模态解释相应地解释了两种态之间的关系是模态关系，动力学态对值态是因果性的非完全决定性的统计约束关系。模态解释也通过指定两种态之间的非完全决定关系为玻恩概率关系、值态与值属性陈述的关系和动力学态的演化再现量子力学标准形式的三大预言[9]7～9。

我们认为，退相干解释主要是为了解决（1），而认为虽然v在逻辑上不能推出u，但v合取了其他命题（环境干扰命题等）就可以推出u。模态解释主要是为了解决（2），因为根据范·弗拉森对他自己的模态逻辑解释的解释，动力学概率叠加态可以视为表征了陈述“有一个值必然是在实数集E中”，即LA；相应的值态陈述A可以视为“有一个值实然是在实数集E中”。显然，根据模态逻辑T公理LA→A，LA可以推出A。然而，仅从逻辑分析，范·弗拉森的模态逻辑解释存在如下问题：

（a）照范·弗拉森的模态解释，从单称命题“有一个值必然是在E中”只能蕴涵值态单称命题“有一个值实然是在E中”，而不能蕴涵作为测量结果值的特称命题“这个值实然是在E中”。范·弗拉森在这里混淆了“有一个值实然是在E中”和“这个值实然是在E中”，即错把pk当成了pi，也即混淆了“a”与“the”。

（b）即便不考虑上述区别，范·弗拉森的“动力学态陈述与测量结果的值陈述是必然到实然”的说法也不一定能成立。因为相应的动力学态是1/2概率仪器态q1与电子自旋朝上的态相干并且以同样概率的仪器态2与电子自旋朝下的态相干，其陈述是1/2 p1·q1+1/2p2·q2，照范·弗拉森的说法，其逻辑形式应该写为L（pi·qj）；但1/2 p1·q1+1/2p2·q2是否蕴涵p1或p2依赖于细致考察对希尔伯特空间的量子命题的特性有具体研究的毕克霍夫-冯·诺意曼量子逻辑。因此，对于范·弗拉森所认为的“逆着时间演变，当我们看到测量结果实然命题而回溯测量理论所预言的多种可能命题时，整个分析是逻辑推演的必然结果”，我们认为，这等于说“从p1推出M（q1·p1）”或“从pi推出M（qj·pi）”，直观上并不能成立。

（c）范·弗拉森所认为的“顺着时间演变，根据测量前理论所预言的多种可能命题，跟踪下一步测量结果实然命题，这是非有效但可满足的，并且可满足波恩概率的统计约束关系”。我们认为，根据范·弗拉森对现代模态逻辑的特设性使用，pi相当于Mpk，可能“M”就是波恩概率，这里的电子自旋例子中是1/2概率。因此前段话等于说：从1/2可能的pi即Mpi到pk（例如，从MMp1到p1）是符合波恩概率的统计约束关系的可满足式。但MMpk到pk直观上并不是符合波恩概率的统计约束关系的可满足式。因为如果M表示可能性1/2，MM就是可能性1/4。虽然照范·弗拉森使用的当代流行的模态逻辑“可能世界语义学”，在p1与p2各自的可能世界是可通达又可传递时，MMp1等值于Mp1，MMpk等值于Mpk，那么这时MMpk到pk满足波恩概率的统计约束关系。但在本文第一作者所创立的“一元算符理论”中，它显然是特设性的。

总之，单独靠范·弗拉森的模态逻辑解释不能解决测量疑难（1），所以近十多年国际上有一批学者主要试图将模态解释与退相干解释结合。而单独靠范·弗拉森的模态逻辑解释是否能解决测量疑难（2）也是存疑的；解决这里的疑问不仅要对所涉及的量子命题重新作逻辑形式构建，而且要基于对当代流行的模态逻辑及其他量子逻辑的合法性的细致考察。

五、四种量子逻辑的不足与优势

通过前面四节我们对量子力学理论的细致理解，来自于不确定关系、波粒二象性和双缝实验等的典型量子悖论都可以消解，因此前三种量子逻辑的创立基础很可能并不存在，而测量难题也并不能仅通过模态逻辑解释消解。但即便如此，仍不能说量子逻辑对于解释量子疑难不是有意义的尝试，更不能说量子逻辑作为非经典逻辑的本性已经完全昭然若揭。

格论量子逻辑系统虽然不能证明“分配律在量子世界中失效”，但其具体内容还是揭示了量子力学泛函数学理论的一些特有规律。多值量子逻辑虽然起因于并不存在的“量子概率命题不遵守经典逻辑的排中律问题”，但它激发了人们对量子力学的逻辑究竟具有何种意义的非经典性的进一步研究。对玻尔的互补性原理的分析虽然令人遗憾地发现在量子语言中并不存在真矛盾，但也启发了人们对与量子力学具有本体论相似性的一些理论（例如G.Prist的辩证论题）中的所谓“真矛盾”究竟是何种逻辑形式的研究。而对范·弗拉森模态逻辑解释的分析多少有些令人失望于无法达到他的初衷，但这种量子逻辑一方面激发人们将模态逻辑解释与其他解释群相结合的努力，另一方面也令我们开始怀疑当今流行的模态逻辑方案可能并没有完全揭示模态逻辑等“非经典”逻辑的本性。

不过，量子逻辑对希尔伯特空间量子力学泛函数学理论的逻辑重构，有助于人们曲折但正确地理解量子理论；量子逻辑对量子实验命题的全新陈述，能更直观地体现量子力学的基本特征——量子态的叠加性；而量子逻辑到底揭示了何种非经典性，更是近十多年来各路国际量子逻辑学派研究的重点。例如，就像迪德雷可等人在2000年所分析的那样：量子析取的非经典性虽然不一定表现为非分配性，但当两个析取肢都为不真时，它们的量子析取仍可能不假[10]1～7。

因此无论如何，量子逻辑进路是并且仍将是通过量子力学解释达到理解微观世界不确定性本性的一个十分重要的科学及哲学的理论传统。

[1] G.Birkhoff，J.von Neumann.The Logic of Quantum Mechanics[J].Annals of Mathematics，1936，37.

[2] Guido Bacciagaluppi.Is Logic Empirical?[M]//Kurt Engesser et al.Handbook of Quantum Logic and Quantum Structures.Utrecht：North-Holland Elsevier，2009.

[3] 桂起权.量子逻辑[M]//杨百顺.现代逻辑启蒙.北京：中国青年出版社，1989.

[4] H.Putnam.The Logic of Quantum Mechanics[M]//Mathematics，Matter，Method，Philosophical Papers，Vol.1.Cambridge：Cambridge University Press，1975.

[5] 万小龙.经典命题逻辑联结词的泛函分析初探——一元算符是否可能穷尽？[J].安徽大学学报：社会科学版，2011，（4）.

[6] Alexandru Baltag，Sonja Smets.Quantum Logic as a Dynamic Logic[J].Synthese，2011，179.DOI 10.1007/s11229-010-9783-6.

[7] 赖欣巴赫.量子力学的哲学基础[M].侯德鹏，译.北京：商务印书馆，1965.

[8] 陈明益，桂起权.从逻辑哲学观点看量子逻辑[J].自然辩证法通讯，2011，（3）.

[9] 万小龙.范·弗拉森的量子力学哲学研究[M].广州：中山大学出版社，2006.

[10] Diederik Aerts，Ellie D’Hondt，Liane Gabora.Why the Logical Disjunction in Quantum Logic is Not Classical？[J].Foundations of Physics in Autumn，2000.