解读托盘天平示数基理

金 伟

(苏州吴中区木渎实验中学,江苏 苏州 215101)

用托盘天平测量物体的质量时,按规定程序进行正常操作,最后即可读数:右盘中砝码的总质量与标尺示数值之和,即等于所测物体的质量.但是对于其中深藏的奥秘,即使在学过杠杆的平衡条件之后,绝大部分的学生是只知其然,而不知其所以然.因此,有必要分析一下产生这一现象的原因,进而阐明托盘天平示数的机理,彻底解决如何对托盘天平正确读数的问题.

1 出自教学目标要求外的追问

不知道托盘天平示数基理的原因很明显,因为这个问题超越了课程标准及现行教材的教学目标要求.出于论述的需要,拟将课程标准和教材中有关托盘天平的背景材料摘录于下:

(1)义务教育物理课程标准的字里行间虽然没有出现“托盘天平”四字,但是在第三部的科学内容主题1中出现“会测量固体和液体的质量”,主题2中出现“学会使用简单机械改变力的大小和方向”,两项知识技能目标的用词实际上肯定了众多简单机械中身份特殊的托盘天平的地位和作用,而它承担了测量物体质量的重任,其教学目标定格在“会用”.

(2)《苏科版·物理》8年级下册第6章第1节阐述了托盘天平的结构和使用方法.

实验室里常用托盘天平测量物体的质量.

托盘天平使用说明.

结构(图1):

图1

使用:

①使用天平时,应将天平放在水平工作台上.

②调节平衡时,应将游码移至标尺左端的“0”刻度线处,再调节横梁上的平衡螺母,使指针对准分度盘中央的刻度线.

③测量物体质量时,应将物体放在天平的左盘;用镊子向右盘加减砝码;在标尺上移动游码,使指针对准分度盘中央的刻度线.此时,右盘中砝码的总质量与标尺示数值之和,即等于所测物体的质量.

注意事项(本文略).

(3)《苏科版·物理》9年级上册第11章第1节暗示了托盘天平的原理和实质.

应用杠杆原理分析前面撬图针的例子可知,由于动力臂大于阻力臂,因此动力小于阻力,这类杠杆是省力杠杆.如果动力臂小于阻力臂,要使杠杆平衡,动力就必须大于阻力,这类杠杆就是费力杠杆.还有一类杠杆的动力臂等于阻力臂,这类杠杆就是等臂杠杆(后面“知识梳理”栏加3“杠杆平衡时,动力等于阻力”).

图11－6中(指教材中图11－6,例举a托盘天平,b手推车,c筷子,d笤帚,e船桨)是一些常见器具,请对它们应用的杠杆进行分类,并说出分类的原则.

不难看出,教材关于质量的测量工具的教学目标,重在了解托盘天平的结构,并能辨别托盘天平使用过程中的错误.通过阅读托盘天平的使用说明书,学会正确使用托盘天平测量固体或液体的质量.根据渐进性学习原则,该阶段教学目标只要考虑这三个方面,而重点锁定在托盘天平的用法,无需上升到应用托盘天平测量物体质量所依据的原理.而学生进入9年级上学期,关于杠杆原理及杠杆的应用的教学目标来看,似乎教材只要求运用杠杆原理能对杠杆进行分类,并了解分类原则.对托盘天平来说,只要求知道它是等臂杠杆,动力等于阻力.教者能把握住这一要求,从降低学生学习难度来看,也可认为实现了托盘天平测量原理的教学,弥补了初二阶段留下的空白.

然而,教学过程中,也发现一些“见异思迁”、“敢于质疑”的学生.在讨论和交流时,提出了令教者刮目相看、颇为费解的问题:“既然托盘天平是等臂杠杆,天平平衡时,动力等于阻力,那么为什么使用天平测量物体质量时,最后的结果是右盘中砝码的总质量与标尺示数值之和才等于所测物体的质量,这个结果是怎样得出的？”,“两者之间怎样才能沟通？”.对于善于发现问题,敢于提出问题的学生,教师首先要加以肯定他们的钻研精神和洞察能力,然后教师再排除思维定势,和学生携手合作探讨.不仅如此,作为教者更应深思,学生已经提出挑战,我们的认知不能停留在原来的初级阶段,需作进一步的解读.

2 关键突破点在于导出天平游码质量的表达式.

解读拟分以下三步展开:

(1)运用杠杆原理,得出待测物体质量的表达式.

观察托盘天平结构,特别留意下列的解读有关的部件:天平左、右两臂的臂长,设为L;天平横梁标尺上从“0”刻度线到最大刻度线之间的距离,设为L0;天平横梁标尺上的最大刻度值为m0.

细读托盘天平的用法,突出下列几点:①开始游码移至标尺左端的“0”刻度线,调节天平横梁平衡.②被称物体放在天平左盘,对物体质量估测后,在右盘中由大及小加减砝码,当加到最小一个砝码时,发现指针偏至中央刻度线右侧,则应拿去这个砝码,改为在标尺上移动游码,使指针两次对准分度盘中央的刻度线,即天平第二次达到平衡.③设被称物体的质量为m,右盘中砝码的质量为m砝,游码的质量为m游,天平第二次平衡时,游码所在位置离横梁“0”刻度线的距离为Lx.

正确运用杠杆原理推导.由于称量前,调节天平处于平衡状态,此前天平的受力情况在下面的推导中可均不考虑,只要着眼称量过程中,特别是第二次平衡时,其状态的转化时的力和力臂的乘积.

当被称物体放在左盘时,天平所受逆时针方向的力和力臂的乘积(相当阻力和阻力臂的乘积)为mgL.

右盘砝码的重力使天平受到顺时针方向的力和力臂的乘积为m砝gL.

游码重力使天平受到顺时针方向的力和力臂的乘积为m游gLx,后两项均为顺时针方向力和力臂的乘积,它们之和相当动力和动力臂的乘积.

根据杠杆原理,可得到:mgL＝m砝gL＋m游gLx,变形得:

现在的问题是(1)式右边的第二项怎样和“标尺示数值”相对应.

(2)再运用杠杆原理,得出游码质量的表达式.

游码的质量m游跟前面提到托盘天平三部件L、L0、m0的量值有关,换句话说,只要读出m0的数值,再用刻度尺量出L、L0的数值,即可测算出游码的质量值.

我们可以假想,对于一架已经调节平衡的天平来说,假如在天平的左盘放一个很小的物体,这个物体的质量就是天平横梁上的最大刻度值m0.由于它的重力,对天平产生逆时针方向的力和力臂的乘积:m0gL.

为了恢复天平的平衡,可以将游码移至标尺的最大刻度线的位置,游码的重力将对天平产生顺时针方向的力和力臂的乘积:m游gL0.

根据杠杆的原理可得到:m0gL＝m游gL0.游码的质量:

将(2)式代入(1)式,再作变形,可得物体质量的第二个表达式为

注意(m0/L0)表示横梁标尺上单位长度所代表的质量值,它与游码在横梁标尺上移动距离Lx的乘积,就是标尺的示数值.相当于在天平右盘放一个质量为(Lx/L0)m0的砝码.由于Lx≤L0,所以(Lx/L0)m0≤m0,亦即这个示数值比最小砝码的质量m0为小,将游码移至最大刻度值位置(Lx＝L0)除外.

3 解读受阻的根源及其整合梳理

解读托盘天平示数基理有一种常见的低级错误.造成这种错误的根源在于未顾及天平的特殊结构,特别疏忽了天平第一步调节的特点,没有正确应用平衡状态转化过程中的杠杆平衡条件.

(1)错误方法的思考顺序如下:

开始调节天平平衡(按规定游码置于标尺左端的“0”刻度线处),将被测物体放在左盘时,天平右盘所加砝码为m砝,游码移至距标尺“0”刻度线的距离为Lx,并设Lx＜L0/2,此时天平横梁平衡.

以标尺中央刻度线即天平的刀口为支点,则有

动力×动力臂＝m砝gL.

阻力×阻力臂＝mgL＋m游g(L0/2－Lx).由动力×动力臂＝阻力×阻力臂变形,得到

如果Lx＜L0/2,则

如果Lx＝L0/2,游码位于天平转轴中心,游码重力的力臂为0,这样有

如果Lx＞L0/2,游码的重力作用使天平顺时针转动为动力×动力臂的组成部分,就有

极易发现,上述(3)、(4)、(5)三个结果都是错的.因为从(3)式可得m＜m砝,(4)式直接给出m＝m砝,(5)式可得到m＞m砝.这三个式子相互矛盾的.实际上,只要游码移离“0”刻度线,总可得到m＞m砝的半定量判断.之所以会出现如此差错,归根到底是推导过程“参照物”不一致.开始调节天平平衡时,游码是置于标尺“0”刻度线位置,这是前提条件.而后运用杠杆平衡条件判断列式时,游码的重力与其力臂乘积(力矩)产生的效果,是相对标尺中央刻度线(天平刀口)定位的,这是后置标准.前提条件和后置标准相悖.但是前提条件在先,是决定因素,后置标准忽视了前提条件是致错原因所在.不仅如此,按照这种推导思路,亦不可能正确求出游码质量的表达式.因为亦无法得出被测物体质量的最终表达m＝m砝＋(Lx/L0)m0,致使解答受阻.但是,若将前提条件和后置标准有机整合和有序梳理,注意杠杆平衡状态转换过程中的等量关系,就可另辟解读途径.

(2)正确方法(纠正后)的思考顺序如下:

如图2(a)所示调好的天平,天平刀口作为支点.

图2

如在称量的过程中,将天平调至如图2(b)所示,游码在支点左边.天平左边力与力臂的乘积与图2(a)相比,力与力臂的乘积变化为:mgL－m游gLx.右边力与力臂的乘积增加为:m砝gL.由于天平再次平衡,有杠杆原理得mgL－m游gLx＝m砝gL.即m＝m砝＋m游Lx/L.

如在称量的过程中,将天平调至如图2(c)所示,游码在支点右边.天平左边力与力臂的乘积与图2(a)相比,力与力臂的乘积变化为:mgL－m游gL1.右边力与力臂的乘积增加为:m砝gL＋m游gL2.由于天平再次平衡,有杠杆原理得:mgL－m游gL1＝m砝gL＋m游gL2.即m＝m砝＋m游(L1＋L2)/L＝m砝＋m游Lx/L.

上述可见,无论游码位置在刀口(杠杆支点)左侧还是右侧,物体质量的数学表达式不变,即m＝m砝＋m游Lx/L.

同样利用本方法,可以得出游码质量的表达式.

如图2(d)所示,与图2(a)相比,同理可得:m0gL－m游gL1＝m游gL2.即m游(L1＋L2)＝m0L.整理得:m游＝m0L/(L1＋L2)＝m0L/L0.

最终得m＝m砝＋(Lx/L0)m0.

综上可见,只要顾及天平的特殊结构及天平的调节顺序,正确地将杠杆的平衡条件用之天平原理的分析,不同的方法,最终殊途同归.

4 托盘天平实为一等效等臂杠杆

从解读托盘天平称量示数的基理引发了笔者对托盘天平是否是等臂杠杆的思考.笔者认为托盘天平严格地来说不是等臂杠杆,基于如下几点:

(1)从结构上来看.它是由两大系列组成.一是两个托盘和横梁;二是游码和标尺.这两大系列是形成复合杠杆,要说等臂杠杆只能是前者.

(2)从原理上来看.当天平平衡时,依据杠杆平衡条件列出的计算式,mgL＝m砝gL＋m游gLx来看,该式不是等臂杠杆的列式.

(3)从称量示数上来看.通常情况,待测物体的质量(左盘)不等于右盘中的砝码总质量,亦即待测物体的重力(阻力)不等于右盘中砝码的重力(动力),除非标尺示数为0.

但是笔者认为托盘天平可看作等效等臂杠杆.可以回眸前两个表达式:mgL＝m砝gL＋m游gLx及m游＝m0L/L0,将它们合为一式:mgL＝(m砝g＋m0gL/L0)L,左盘中为质量m的待测物体,右盘中是质量为m砝＋m0L/L0的砝码.左、右盘的臂长相等,用L表示,这是等臂杠杆平衡时的表达式,表明托盘天平确可当作等臂杠杆处理.