“人—船”模型的教学研究

何述平

(西北师范大学教育学院物理教育研究所,甘肃 兰州 730070)

1 引言

模型方法是物理学的重要研究方法,也是物理问题的基本而有效的解决方法.如何运用模型方法,“人—船”模型具有典型性,且对其已有不少讨论［1－5］;但似乎有模糊之处、令人费解之处.若从大学普通物理居高临下地审视“人—船”模型问题,其物理实质究竟怎样？中学物理范围内怎样合理地解决？有哪些可行的解法？各解法有何特点？本文对此作相应探讨,以期疑惑的解释,提供合理运用模型方法的理论依据,并为“人—船”模型开放探究式的教学设计奠定基础.

图1

2 探讨

为明晰起见,先简述“人—船”模型问题,再做两个层次的细致探讨.

2.1“人—船”模型

质量为M、长为L的小船位于湖水上,质量为m的人站在船头,最初人和船都静止,如图1.当人从船头走到船尾时,小船移动了多少距离？(不计水对船的阻力)

将人、船视为系统,水平方向所受合外力为零,则水平方向动量守恒;以水平向右为正向,sm、sM分别为人、船相对于湖岸的位移大小,如图1,则有［1］

由(1)～(4)式得

sM即为小船相对湖岸移动的距离.

或在式(1)的基础上引入平均速度［2］或“平均动量”［3－5］,从而用平均速度表达式(1)、(2)、(3),再结合式(4),得到与式(5)、(6)一致的结果.

2.2 实质探讨

式(2)、(3)或用平均速度表达式(1)、(2)、(3)(v、V是瞬时速度),合理否？或许从大学普通物理居高临下地审视“人—船”模型问题,对明确其实质会更有益.

大学普通物理中可见到的、与“人—船”模型实质相同的有“人—车”模型［6］、“狗—船”模型［7］,且有动量守恒的式(1)和相对位移大小的式(4).由式(1)对时间0～t积分(t为人从船头走到船尾的时间)得

再结合式(4),得同(5)、(6)的结果(还可运用质心运动定理求解,得相同的结果).

因速度对时间的积分为位移,则无论人、船相对于湖岸做何种直线运动(匀变速、非匀变速直线运动),式(7)在大学普通物理上均成立,即具有一般性.由受力分析、牛顿定律知,人、船的相互作用力即摩擦力,既可是恒力,也可是变力.这样,人、船相对于湖岸只可能做匀变速或非匀变速直线运动,不可能做匀速直线运动.因此,式(2)、(3)明显是不合理的［因式(2)、(3)意味着人、船相对于湖岸做匀速直线运动］.

用平均速度表达式(1)、(2)、(3),貌似合理,实则不然.从物理概念看,有平均速度的概念(平均速度是位移与对应时间之比,对应着时间,可理解为等效的匀速的速度),而似乎没有“平均动量”的概念(动量是状态量,对应着时刻,动量的时间变化率等于力,动量的增量等于冲量,冲量与对应时间的比为平均力,均有明确的物理意义.然而,动量对时间积分、再取时间平均,从数学形式看好像是“平均动量”,但从物理实质看,动量对时间的积分没有意义).因此,单独审视用平均速度表达式(2)、(3),是合理的(位移等于平均速度与时间之积,对应着时间),但若用平均速度表达式(1),则没有物理意义.而且用平均速度表达式(2)、(3)及式(1)(进而出现了没有物理意义的“平均动量”)的目的是联立计算位移,则用平均速度表达式(2)、(3)又显得不合理.

运用动量守恒定律的意图是避开所研究问题的系统经历过程的细节和系统内可能复杂的相互作用,直接考虑系统过程的始末态的动量,从而使问题解决更简捷［8］.因此,“人—船”模型问题的解决首选运用动量守恒定律.然而,从以上探讨知,由动量守恒即式(1)求位移,不得不用积分(目前中学基础物理不涉及).为了避免积分,想当然地认为有式(2)、(3)或用平均速度表达式(1)、(2)、(3),但这是不合理的.结果的式(5)、(6)却是合理的.

从能量方面看,对“人—船”模型,人体的化学能通过摩擦力做功转化为人和船的动能.

2.3 教学探讨

中学物理中怎样合理解决“人—船”模型问题呢？结合中学物理教学的特点,探究、概括出以下4种可行的解法,并作必要的讨论.

2.3.1 中学物理的解法

解法1:动量守恒定律＋匀变速直线运动速度规律法.

人、船视为系统,则水平方向动量守恒,有式(1)、(4).人、船间的摩擦力视作恒力,则人、船相对湖岸做匀变速直线运动.依据匀变速直线运动速度规律有(大小关系)

其中t为人从船头走到船尾的时间,v、V分别是t时刻时人、船的瞬时速度.由式(1)、(4)和式(8)、(9)也得式(5)、(6)的结果.

人、船视为系统,则水平方向动量守恒,有式(1)、(4).人、船间的摩擦力f和f′(水平方向)视作恒力.依据动能定理、牛顿第三定律有(大小关系)

由式(1)、(4)和式(10)～(12)也得式(5)、(6)的结果.

解法3:匀变速直线运动位移规律＋牛顿第二、三定律法.

人、船分别为研究对象,人、船间的摩擦力f和f′(水平方向)视作恒力.人、船相对湖岸做匀变速直线运动.依据匀变速直线运动位移规律、牛顿第二、三定律有(大小关系)

和式(12)、式(4).由式(13)～(16)和式(12)、式(4)也得式(5)、(6)的结果.

解法4:动量守恒定律＋匀变速直线运动速度－位移规律＋牛顿第二、三定律法.

人、船视为系统,则水平方向动量守恒,有式(1)、(4).人、船间的摩擦力f和f′(水平方向)视作恒力,则人、船相对湖岸做匀变速直线运动.依据匀变速直线运动速度－位移规律、牛顿第二、三定律有(大小关系)

和式(15)、(16)、(12).由式(17)、(18)和式(15)、(16)、(12)及式(1)、(4)也得式(5)、(6)的结果.

第三步：在单路径馈线恢复方案施行后，配电网的初始状态发生变化，对第二阶段主变负载率进行修改，通过MOPSO算法求解数学模型，计算多路径馈线的最小恢复供电时间以及最大恢复供电能力。

2.3.2 解法的讨论

“人—船”模型问题的4种可行解法所运用的物理基本规律如各解法所注,并以此称谓各解法,构成各解法的中学物理理论依据,作为各解法的特点之一.从处理物理问题基本方法看,4种可行解法都运用了理想化法(理想化对象——质点或质点组即系统,理想化过程——匀变速直线运动)［9］;从物理学方法论看,解法1、2、4运用了综合—分析法［9］(即系统—隔离法),解法3运用了分析法(即隔离体法);作为各解法的特点之二.

比较“人—船”模型问题的4种可行解法,可知简捷程度(由简到繁)依次为解法1、解法2、解法3(此法虽相对较繁,但物理分析透彻、物理过程清晰)、解法4.

3 教学建议

依据2.2、2.3,先给出“人—船”基本模型问题的教学建议,再探讨一个“人—船”变形模型问题的实质,并据此提出相应教学建议.

3.1 基本模型的教学建议

对“人—船”基本模型问题,虽然可以根据中学物理的具体教学内容、合理教学目标和可行解法特点,具体选择开放探究式教学方法,但应将重点放于一题多解,因为这样才可体现开放与探究,才可多角度进而有效地理解物理基本过程,巩固、深化、活化物理基本规律,领悟物理基本方法,从而提升分析解决问题的能力,并为变形模型问题的解决奠定良好的基础.

3.2 变形模型的教学建议

3.2.1 问题探讨

某人在静止于湖水的船上练习射击,人在船的一端,靶置于船的另一端,枪口到靶的距离为L,船、人、枪、靶的总质量为M,枪内另装有质量均为m的子弹n颗.发射后一子弹时,前一子弹已嵌入靶中.求全部子弹射入枪靶后,船移动的距离.(不计水对船的阻力)

将子弹与船、人、枪、靶视为系统,每次发射时系统的总动量为零,认为一次发射质量为nm的全部子弹与依次发射质量均为m的n颗子弹等效;然后与“人—船”模型对应得

此解法合理否？凭直觉似乎合理,但具体推理则表明不合理.现详细推证如下.

第1次发射,将第1颗子弹与n－1颗子弹、船、人、枪、靶视为系统,水平方向不受外力,则系统动量守恒,有

然后,子弹m和n－1颗子弹、船、人、枪、靶［M＋(n－1)m］分别以v和V做匀速直线运动(忽略重力对子弹的作用),则位移大小分别为

其中t为子弹从枪口到射入枪靶的时间.由相对位移大小关系,有

由式(19)～(22)得

对子弹射入枪靶,依据动量守恒有

表明子弹射入枪靶后,系统的总动量为零,相对湖岸的速度均为0.

第2次发射,过程同第1次发射,也有同(19)～(24)的表达式.不难想见,第i次发射,过程也同第1次发射,有(19)～(24)的表达式.因此,第n颗子弹射入枪靶后,船移动的距离为

从能量角度看,弹药的化学能通过弹药燃爆产生的力做功转化为子弹m和n－1颗子弹、船、人、枪、靶［M＋(n－1)m］的动能,然后通过子弹与枪靶间的摩擦力做功转化为它们的内能.

3.2.2 教学建议

由3.2.1知,导致谬误的根本原因是物理过程未清晰,盲目对应、笼统“对号入座”.因此,对“人—船”变形模型问题,应突出物理基本过程的分析,因为这样才可确定能否与“人—船”基本模型对应;若物理基本过程不尽相同,则应考虑变通,因为不同的物理基本过程一般遵循不同的物理基本规律.所以,对“人—船”变形模型问题,虽然也可根据中学物理的具体教学内容、合理教学目标,具体选择开放探究式教学方法;但应既关注相同与对应,又关注不同与变通,即应将重点放于“对应—变通”.

4 结语

本文的“人—船”基本模型问题和变形模型问题的实质探讨,澄清了相应的模糊之处、令人费解之处,明确了物理实质.“人—船”基本模型问题的教学探讨,给出了中学物理范围内合理、可行的4种解法,并讨论了解法的特点和简捷程度.“人—船”基本模型问题和变形模型问题的教学建议,均突出了物理基本过程,因为这是解决物理问题的前提和基础;并分别就同一物理基本过程运用相同或不同物理基本规律和不同物理基本过程,运用不同物理基本规律提出了一题多解和“对应—变通”的教学建议;而运用不同的物理基本规律一般意味着采用了不同的物理基本方法.因此,对“人—船”模型问题,运用模型方法的程序应是:物理基本过程→物理基本规律→物理基本方法.这应是合理运用模型方法的理论依据之一.

1 阎金铎,田世昆.中学物理教学概论(第2版).北京:高等教育出版社,2003.151

2 刘炳升.走进高中新课改:物理教师必读.南京:南京师范大学出版社,2005.149—153

3 陈刚,舒信隆.新编物理教学论.上海:华东师范大学出版社,2006.124—128

4 陈刚.物理教学设计.上海:华东师范大学出版社,2009.144—146

5 陈刚,舒信隆.问题图式在物理问题解决教学中的应用.课程·教材·教法,2009,29(7):57—61

6 程守洙,江之永,朱詠春.普通物理学(第1册,第4版).北京:高等教育出版社,1982.80—81

7 恽瑛,朱君哲,舒素珍.哈里德物理学习题解答(第1卷).北京:科学出版社,1985.196—197

8 漆安慎,杜婵英.力学基础.北京:高等教育出版社,1982.173

9 张宪魁,李晓林,阴瑞华.物理学方法论.杭州:浙江教育出版社,2007.106,78