算子算法借助幂级数解一类常系数非齐次线性微分方程

秦丽华

算子算法是求解常系数齐次线性微分方程特解的一种方法，它比常数变易法、待定系数法和獿aplace变换法简便，和算子升降法相似，但算子升降法是把p(D)按升幂排列后去除1，除到部分商q(D)的次数与f(x)的次数相同为止，这对于初学者来说不易理解，而本文将用算子算法借助幂级数来求解常系数齐次线性微分方程的特解.

现在我们考虑常系数线性微分方程y(n)+a1y（n-1）+…+猘﹏-1獃′+a璶y=f(x)，这里f(x)为多项式、指数函数、三角函数以及它们的线性组合.若令D琸=玠琸[]玠玿琸，其中k=0，1，…，则上边的微分方程表示为D琻+a1D(n-1)+…a﹏-1狣y+a璶y=ゝ(x)或p(D)y=f(x).其中p(D)=D琻+a1D(n-1)+…+猘﹏-1狣y+a璶，显然D=玠玔]玠玿是微分算子，p(D)是微分算子多项式.我们把1[]p(D)称为p(D)的逆算子.所以我们可以有以下理解：

DА要f(x)玠玿=玠玔]玠玿А要f(x)玠玿=f(x).

D琸А摇∫f(x)(玠玿)琸=玠玔]玠玿∫…∫f(x)(玠玿)琸=f(x).И

反之：1[]D琸f(x)=А摇∫f(x)(dx)琸，k=0，1，…

为此，我们列出微分算子p(D)和逆算子1[]p(D)的有用性质：

1.p(D)和1[]p(D)的互逆性：p(D)1[]p(D)f(x)=f(x),1[]p(D)(p(D)φ(x))=φ(x).

2.p(D)的线性：p(D)［φ1(x)+φ2(x)］=p(D)φ1(x)+﹑(D)φ2(x).

p(D)［cφ(x)］=c［p(D)φ(x)］.

3.p(D)的加乘运算：

［p1(D)p2(D)］φ(x)=p1(D)［p2(D)φ(x)］.

［p1(D)+p2(D)］φ(x)=p1(D)φ(x)+p2(D)φ(x).

4.1[]p(D)的线性：1[]p(D)［c1f1(x)+c2f2(x)］=┆ヽ11[]p(D)猣1(x)+猚21[]p(D)f2(x).

5.1[]p(D)对实变量复值函数的运算：

1[]p(D)獻m［u(x)+玦玽(x)］=獻m1[]p(D)［u(x)+玦玽(x)］.

1[]p(D)玆e［u(x)+玦玽(x)］=玆e1[]p(D)［u(x)+玦玽(x)］.

6.p(D)对指数函数玡│藊的运算：

p(D)玡│藊=玡│藊猵(λ)，λ为常数.

p(D)［玡│藊獀(x)］=玡│藊［p(D+λ)］v(x).

下面，我们依f(x)为多项式、指数函数、三角函数以及它们的线性组合等情形讨论计算1[]p(D)f(x).

一、当f(x)=b1x琺+b2x﹎-1+…+b﹎-1獂+b璵时，借助幂级数和函数求解

例1 求解方程y″+y=x2-x-2的特解.

解 (D2+1)y=x2-x-2,y=1[]D2+1(x2-x-2).

［玜rctan玿］′=А啤轠]n=0(-1)琻x2n+1猍]2n+1

′=x-x3[]3+x5[]5-x7[]7+…

′=1-x2+x4+…

即1[]D2+1=［玜rctan玿］′.

所以1[]D2+1就取与f(x)的次数相同的多项式1-D2.

y=1[]D2+1(x2-x-2)=(1-D2)(x2-x-2)=x2-﹛-2-D2(x2-x-2)=x2-x-2-(x2-x-2)″=x2-x-4.

可见借助幂级数求解常系数线性微分方程特解，常用的幂级数和函数要记住.

如：1[]1-x=А啤轠]n=0x琻，1[]1+x=А啤轠]n=0(-1)琻x琻，1[]1-x2=А啤轠]n=0x2n.

二、当f(x)=玡│藊，λ为一常数时，借助常规解法解，但须讨论

1.如果p(λ)≠0，则1[]p(D)玡│藊=1[]p(λ)玡│藊.

2.如果p(λ)=0，则1[]p(D)玡│藊=玡│藊1[]p(D+λ)•1.

三、借助常规解法的情况

1.当f(x)=玸inωx，ω为一常数时，也借助常规解法解，

即：1[]p(D)玸inωx=1[]p(D)獻me┆玦ωx=獻m1[]p(D)玡┆玦ωx.

2.当f(x)=玞osωx，ω为一常数时，也用常规解法解，

即：1[]p(D)玞osωx=1[]p(D)玆e玡┆玦ωx=玆e1[]p(D)玡┆玦ωx.

3.当f(x)=玡│藊•v(x)，λ为一常数时，也用常规解法解.

即：1[]p(D)玡│藊獀(x)=玡│藊1[]p(D+λ)•v(x).

四、当f(x)为多个函数的线性组合时，借助幂级数求解

例2 求方程y″+y′=x2-x+2+9玸in玿-3玸in2x的一个特解.

解 y=1[]D2+1［(x2-x+2)+9玸in玿-3玸in2x］=1[]D2+1(x2-x+2)+1[]D2+1•9玸in玿-1[]D2+1•3玸in2x.

1[]1+x2=［玜rctan玿］′=А啤轠]n=0(-1)琻x2n+1猍]2n+1

′=x-﹛3[]3+獂5[]5-x7[]7+…

′=1-x2+x4-…

ニ以1[]1+D2取1-D2，

则y=(1-D2)(x2-x+2)+1[]D2+1•9玸in玿-1[]D2+1•3玸in2x=x2-x-9[]2x玞os玿+玸in2x.

结论：从上边的例子得出对于非齐次线性方程和方程组，如果f(x)是f(x)=b1x琺+b2x﹎-1+…+b﹎-1獂+b璵的情况，用幂级数求解也很有意思.

同样用算子算法解非齐次线性方程组时遇到当f(x)=b1x琺+b2x﹎-1+…b﹎-1獂+b璵时，同样可以用幂级数解决.