数形结合在解题中的应用数形结合在解题中的应用

丁克华

【摘要】数与形是一对矛盾，它包含“以形助数”和“以数助形”两个方面，它渗透于中学教材之中，本文试从函数图像和几何图形两个方面，结合中学教材的实际情况，举例说明“以形助数”在解决问题中的一些妙用.

【关键词】数形结合オ

数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.

1.利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题

例1 设方程|x2-1|=k+1，试讨论k取不同范围的值时其不同解的个数的情况.图 1

分析 我们可把这个问题转化为确定函数y1=|x2-1|与y2=k+1图像交点个数的情况，因函数y2=k+1表示平行于x轴的所有直线，如图1，从图像可以直观看出.

解 ①当k<-1时，y1与y2没有交点，这时原方程无解；

②当k=-1时，y1与y2有两个交点，原方程有两个不同的解；

③当-1

④当k=0时，y1与y2有三个交点，原方程不同解的个数有三个；

⑤当k>0时，y1与y2有两个交点，原方程不同解的个数有三个.

点评 将方程的解的问题转化为两函数的交点问题.

2.求取值范围

例2 方程2x-x2=k(x-2)+2在区间［0,2］上有解，则实数k的取值范围是.

图 2解 分别作出y1=2x-x2((x-1)2+y2=1(y≥0))与y2=﹌(x-2)的图像，如图2.

y1为圆心为(1,0)、半径为1的上半圆，y2为过点(2,2)、斜率为k的直线.

当圆与直线相切时，有|k(1-2)+2|[]1+k2=1，得k=3[]4，结合图形知k∈3[]4,1为所求.

点评 加强数形结合意识，做到脑中有图，借助方程的曲线，将图形性质与数量关系相结合可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，达到化难为易，起到事半功倍的效果.

3.解方程中的应用

例3 已知x,y,z为正数，且x2+y2+xy=1,

z2+y2+zy=4,

x2+z2+xz=3,

求x+y+z的值.

解 注意到三个方程的结构类似余弦定理(分别视“1”，“3”，“4”为“12”，“（3）2”，“22”），如a2=b2+c2-2bc玞os獳，只要分别令其中的两边夹角为120°即可,原方程组

为x2+y2-2xy玞os120°=12，(1)

z2+y2-2zy玞os120°=22，(2)

x2+z2-2xz玞os120°=(3)2，(3)

x,y,z>0.(4)

图 3オオス乖焱夹危如图3，注意到㏒△ABC=猄△AOB+S△BOC+S△COA，且〢B2+狝C2=BC2，∴△ABC是直角三角形，故1[]2×3×1=1[]23[]2xy+3[]2yz+3[]2xz,即

xy+yz+xz=2.(5)

把各方程相加，得2(x2+y2+z2)+(xy+yz+zx)=8.把(5)代入，解得

x2+y2+z2=3.（6）

又 (x+y+z)2=(x2+y2+z2)+2(xy+yz+xz)，ァ(x+y+z)2=3+2×2=7.

∵x,y,z>0，∴x+y+z=7.

点评 此题解法关键是求出x+y+z，若用纯代数解法是极困难的，但构造三角形运用余弦定理便迎刃而解，充分体现了以平面图形助数的实效性.

通过以上例题可看出，数形结合思想方法能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，其实质就是“数中思形，以形助数”.它使很多代数问题迎刃而解，且解法简捷.同学们平时应加强这方面的训练，在做题中要注意培养这种思想意识，要做到“胸中有图，见数思图”，以开拓自己的思维视野，从而提高自己的解题能力.