平抛运动要点扫描
2012-04-29徐汉屏
徐汉屏
■ 一、 平抛运动的分解
物体以一定的初速度v0水平抛出后，物体只受到重力的作用，方向竖直向下，根据牛顿第二定律，物体的加速度方向与所受合外力方向一致，大小为a＝g，方向竖直向下；由于物体是被水平抛出的，在竖直方向的初速度为零，所以，平抛运动的竖直分运动就是自由落体运动. 而水平方向上物体不受任何外力作用，加速度为零，所以水平方向的分运动是匀速直线运动，速度大小就等于物体抛出时的速度v0.
■ 二、 平抛物体的位置
如图1所示，以物体水平抛出时的位置为坐标原点，以水平抛出的方向为x轴的正方向，竖直向下的方向为y轴的正方向，建立坐标系，物体的位置可用它的坐标x、y来描述. 从物体抛出瞬间开始计时，因平抛运动水平方向的分运动为匀速直线运动，故平抛物体的水平坐标随时间变化的规律是x＝v0t；
因平抛运动竖直方向的分运动为自由落体运动，故平抛物体的竖直坐标随时间变化的规律是y＝■gt2.
以上两式确定了平抛物体在任意时刻t的位置.
■ 三、 平抛运动的轨迹
从以上两式中消去t，可得
y＝■x2
式中g、v0都是与x、y无关的常量，所以■也是常量. 这正是数学中的抛物线方程y＝ax2. 实际上，二次函数的图象叫做抛物线，就是来源于此！
y＝■x2是平抛运动物体在任意时刻的位置坐标x和y所满足的方程，我们称之为平抛运动的轨迹方程. 由此方程可知，这是一个顶点在原点、开口向下的抛物线.
■ 四、 平抛物体的速度
由平抛运动的特点不难得到：初速度为v0的平抛运动，经过时间t后，其水平分速度vx＝v0，竖直分速度vy＝gt.
根据运动的合成规律可知物体在这个时刻的速度（即合速度）大小
v＝■=■，
设这个时刻物体的速度与竖直方向的夹角为θ，则有
tan θ＝■＝■.
■ 五、 平抛物体的飞行时间
由于平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，有
h=■gt2，故t=■，
即平抛物体在空中的飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关.
■ 六、 平抛物体的水平射程
由于平抛运动在水平方向的分运动为匀速直线运动，故平抛物体的水平射程即落地点与抛出点间的水平距离
x＝v0t＝v0■
即水平射程与初速度v0和下落高度h有关，与其他因素无关.
■ 七、 平抛物体的落地速度
根据平抛运动的两个分运动，可得落地速度的大小
v=■=■
以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有
tan θ=■=■
即落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关.
■ 例1平抛一物体，当抛出1 s后的速度方向与水平方向成45°角，落地速度方向与水平方向成60°角. （取g=10 m/s2），求：
（1） 初速度；
（2） 落地速度；
（3） 开始抛出点距地面的高度；
（4） 水平射程.
■ 解析由题知如图2，
（1） t1=1 s时vy=gt1.
vx=vy=v0.
v0=gt1=10×1 m/s=10 m/s.
（2） vt=■=■
vt=■ m/s=20 m/s.
（3） vy′=gt
vy′=vt·sin60°=20×■ m/s，vy′=10■ m/s.
t=■ s=■ s，h=■gt2=■×10×（■） m=15 s.
（4） x=v0t=10■ m.
■ 八、 将斜抛运动转化为平抛运动处理
斜抛运动的轨迹为开口向下的抛物线，轨迹关于过最高点的竖直线对称，且过最高点后物体的运动即是平抛运动，因此可将斜抛运动转化为平抛运动处理.
■ 例2设乒乓球的球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力. 若球在球台边缘O点正上方以速度v1水平发出，恰好在最高点越过球网落在球台的P1点，如图3所示，求v1的大小.
■ 解析乒乓球先做平抛运动，反弹后再做斜抛运动. 由斜抛运动最高点两侧运动的对称性，可将斜抛运动转化为平抛运动处理；根据题给条件“乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力”，由乒乓球反弹前后运动的对称性，可确定相应的几何关系. 具体解法如下：
设发球高度为h1，乒乓球从发出到第一次反弹前的飞行时间为t1，水平位移为x1.
根据平抛运动h1=■gt21，x1=v1t1，
且h1=h，2x1=L，
得v1=■■.
请进一步讨论：若球在O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P2处，如图4所示，求发球点距O点的高度h2.
■ 解析设发球的速度为v2，乒乓球从发出到第一次反弹前的飞行时间为t2，水平位移为x2. 根据平抛运动h2=■gt22，x2=v2t2，且3x2=2L. 设球从恰好越过球网到最高点的时间为t，水平位移为x，有h2－h=■gt2，x=v2t. 由几何关系知，x2+x=L. 联立以上各式，解得h2=■h.
