探讨函数解题中易忽略的几个问题探讨函数解题中易忽略的几个问题

赵军

【摘要】函数是中学数学中最基本的概念，在历年高考中题型多样，常考常新。本文结合课本内容及近年来的高考试题，探讨函数解题中易忽略的几个问题。

【关键词】求解；错解；错因分析；正解；反思

函数是描述客观世界中量与量之间对应关系的一种重要的数学模型，因而是中学数学主干知识之一。高中新生初学函数时，由于对函数的概念、性质理解不透，应用不熟，造成错解。本文就结合自己的教学实践，参考历年高考题型,谈谈函数解题中易忽略的几个问题，引起教师重视，供大家参考。

一、忽略定义域的存在与作用

例1 求函数f(x)=log0。5(x2-2x-3)的单调区间。

错解 u(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4在(-∞,1］上是减函数，在［1，∞)上是增函数。结合复合函数性质知：函数f(x)的递增区间是(-∞,1］，递减区间是［1，∞)。

错因分析 上述解法忽略了函数f(x)的定义域(-∞,-1)∪（3，+∞），将(-∞,+∞)错误地应用为函数f(x)的定义域，得出错误结论。

正解 函数f(x)=log0。5(x2-2x-3)的定义域是(-∞,-1)∪（3，+∞），u(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4在(-∞,-1)上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，所以据复合函数的单调性，函数f(x)的递增区间是(-∞,-1)，递减区间是（3，+∞）。

反思 定义域是建立函数关系、研究函数性质的基础，解题中若忽略函数定义域的存在去研究函数的有关性质，往往会出现错解。

二、忽略对应法则的意义与作用

例2 将函数y=log3(2x+1)的图像如何变换，可得到函数y=log3(2x)的图像？

错解 把函数y=log3(2x+1)的图像上所有点向左平移1个单位长度，就可以得到函数y=log3(2x)的图像。

错因分析 函数图像左右平移变换有一定的规律。把函数y=f(x)的图像上所有点向左(h>0)或向右(h<0)平移|h|个单位长度，就得到函数y=f(x+h)的图像，y=f(x)中的f是对应法则，是由x得到y的方法途径，作用对象是x。y=f(x+h)中的f与y=f(x)中的f意义一样，只是作用对象是x+h而不是x。上述错解把y=log3(2x+1)看成y=f(x)，y的意义是“乘2，加1，取对数”，而y=log3(2x)并不是y=f(x+h)，需要进行等价变换。

正解 因y=log3(2x+1)=log32x+12，故把函数y=log3(2x)的图像上的所有点向左平移12个单位长度，就可以得到函数y=log32x+12的图像，即y=log3(2x+1)的图像。因此把函数y=log3(2x+1)的图像上所有的点向右平移12个单位长度，就可以得到函数y=log3(2x)的图像。

反思 在研究函数图像变换时，必须弄清楚具体函数中的对应法则的意义及作用对象，才能得到正解。

三、忽略判别式的适用范围

例3 求函数y=x2-x-1x2-x+2的值域。

错解 由y=x2-x-1x2-x+2得

(y-1)x2-(y-1)x+2y+1=0。

①

∵x∈R,∴Δ=［-(y-1)］2-4(y-1)(2y+1)≥0,即(y-1)(7y+5)≤0,解得-57≤y≤1。

故函数值域为-57,1。

错因分析 判别式的适用范围是针对一元二次方程的。当y-1=0时，①式不是一元二次方程，则上述求解过程错误。

正解 由y=x2-x-1x2-x+2

得(y-1)x2-(y-1)x+2y+1=0。

②

当y-1≠0，即y≠1时，∵x∈R，

∴Δ=［-(y-1)2］-4(y-1)(2y+1)≥0，即(y-1)(7y+5)≤0，

解得-57≤y≤1。当y-1=0即y=1时，②式为3=0，显然不成立，此时无实根，因此y=1不是此函数值。

综上所述，函数的值域为-57,1。

反思 判别式的适用范围是针对一元二次方程的，离开一元二次方程就没有判别式。

四、求反函数时，忽略原函数的值域

例4 求函数y=1-x+1的反函数。

错解 由y=1-x+1，得1-x=y-1，即1-x=(y-1)2，则x=-y2+2y。

故函数y=1-x+1的反函数是y=-x2+2x(x∈R)。

错因分析 如果一个函数存在反函数，则原函数的定义域、值域与反函数的值域、定义域是互换的，因此反函数的定义域取决于原函数的值域而不是反函数本身。上述错解的原因是在求反函数之前没有事先确定原函数的值域。