均值不等式在一个问题解决中的应用
2012-04-29毕德毅逯艳
考试周刊 2012年23期
毕德毅 逯艳
问题:求证++…+>1
由于此问题是一个与自然数有关的命题,因此可以使用数学归纳法解决.又由于此问题左端可看做一函数(数列),因而可通过构造函数的方式解决.在此,本文主要讨论使用均值不等式来求解.
均值不等式:设a,a,…,a是n个正数,则
≤≤≤
即调和平均值H(n)≤几何平均值G(n)≤算术平均值A(n)≤均方根平均值Q(n),
等号当且仅当a=a=…=a时成立.
(1)几何平均小于算术平均
++…+
≥(2n+1)
=
而≥1,k≤n
∵(n+k)(3n+2-k)≤()=(2n+1)
当且仅当n+k=3n+2-k,即n=k-1时,取等号,而n=k-1≤k,所以不能取等号.
∴>1
∴>1
∴++…+>1
(2)调和平均小于算术平均
++…+≥==1
当且仅当==…=时取等号,故等号取不到.
∴++…+>1
(3)算术平均大于几何平均
∵+>2>2=
+>2>2=
……
+>2>2=
∴++…+>+=1
基金项目:山东省研究生教育创新计划资助项目资助(课题编号SDYY11154);鲁东大学—烟台市教育局校地联合教学改革项目成果(课题编号412——20101206)。