高等代数与解析几何合并授课的探讨

华义平 李小新

摘要： 高等代数与解析几何是数学专业两门非常重要的基础课，联系非常紧密，几何为代数提供直观背景，代数为几何提供研究方法。为了更好地融合高等代数与解析几何的知识，使教学内容达到最有效的合理配置，目前数学界在教学上已有将两者融为一体的思路与做法。本文结合教学实践，浅议这种合并的必要性，并列举它们相互渗透的一些实例。

关键词： 高等代数解析几何合并教学

高等代数与解析几何是数学专业两门非常重要的基础课，1997年以前，大多数学校分开设课，随着高等教育教学改革的不断深入，近年来部分学校在教学上已有将两者融为一体的思路与做法。我们结合教学实践，浅议这种合并的必要性，并列举它们相互渗透的一些实例。

1.高等代数与解析几何合并授课的必要性

高等代数与解析几何是数学专业学生必修的两门基础课，按照教学计划的要求，一般院校都在大一的第一学期与数学分析一起同时开设，由于这两门课程都体系完备，授课教师在教学时经常是各自用各自的方法，很少想到互用，因而这两门课程往往被学生理解为数学的两个不同分支。实际上，高等代数中很多概念和方法都来源于二、三维几何空间，而解析几何研究的就是二维和三维空间中的几何问题，处理问题的工具就是代数方法，因此这两门课程之间有着密切的联系。它们之间的关系可归纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”［１］。

高等代数与解析几何分开授课，首先由于两门课程中有许多交叉和重叠的内容，单独授课必然会出现有些内容重复上的情况，这样就浪费了宝贵的课时；其次，在讲授高等代数的某些抽象理论时，由于几何背景的缺乏，学生往往感到高度抽象，从而产生惧怕心理，不利于教学的正常开展；最后，在解析几何的教学中经常要用到高等代数中的一些知识，但由于高等代数教学进度的滞后性，迫使在解析几何课程中要花大量的时间来讲授以后在高等代数中要讲授的内容，从而影响解析几何教学任务的完成。将两门课程合并教学，不仅可以精简教学内容，节省很多宝贵的课时，而且一方面在讲授高等代数的一些抽象理论时，可以通过引入几何背景来帮助消除高等代数的抽象性，使得所学知识便于接受。另一方面应用高等代数知识来解决解析几何问题，可以让学生体会高等代数应用的广泛性，从而激发学习兴趣，提高学习效率。

2.在教学中实现两者融合的实践

虽然我校目前还没有将高等代数与解析几何两门课程合并授课，但在具体的教学中，我们已经开始注重它们之间的相互作用，充分重视这种“数”、“形”之间的相辅相成和相互交融。下面以实例说明它们之间的密切联系。

2.1几何为代数提供直观背景

2.1.1行列式的几何意义

行列式是高等代数中接触到的第一个抽象性概念，初学者往往对繁杂的计算公式产生了恐惧，对学好高等代数缺乏信心，不利于课程教学的开展。为弥补这些不足，在教学中给出行列式的几何背景将大有裨益。

从几何观点来看，二阶行列式aaaa是平面上以向量α=aa，α=aa为邻边的平行四边形的有向面积：当这个平行四边形是由α逆时针旋转到α得到时，面积为正；当这个平行四边形是由α顺时针旋转到α得到时，面积为负。类似的，三阶行列式的值就是三个向量在三维空间中张成的平行六面体的有向体积：当α，α，α构成右手系时，体积为正；当α，α，α构成左手系时，体积为负。这样学生就能感觉到行列式是一个看得见、摸得着的数。同时启发学生：我们可以把n阶行列式定义为n个n维向量张成的平行多面体的有向体积。借助这个直观的定义，对行列式7条性质的理解也就容易得多。

2.1.2Schmidt正交化过程的几何解释

Schmidt正交化过程是欧式空间中求标准正交基的一种常规方法，公式非常复杂，不易掌握。下面结合二、三维空间中的几何直观，给出Schmidt正交化产生的思维过程。

这一过程在R中的体现是：由两个不共线的向量（线性无关）α，α得到两个相互垂直（正交）的向量β，β，下面通过直观图（图1）来展示正交化的过程：

β=α，β==α-=α-Prjαα.而Prjαα=，从而β=α-α=α-β.

R空间中Schmidt正交化过程是：由三个不共面的向量组（线性无关）α，α，α得到三个两两相互正交（垂直）的向量组β，β，β，如图2所示，α=，α=，α=，则

β=α=，β==-=α-α=α-β，

是在L（β，β）面上的正交投影，则=β+β，从而

β==-=α-β-β.

以此类推，可以推导出n维欧式空间中的Schmidt正交化公式，而不需要机械地去记忆。

2.2代数为几何提供研究方法

解析几何是利用高等代数为基本工具来研究平面、直线、曲面及曲线的图形和性质为主的一门数学课程。平面、直线、曲面、曲线方程的建立与求解，点、线、面的位置关系的处理，二次曲面的分类等都是用代数方法来研究的。下面以二次曲面的分类问题为例进行说明。

例:化3x+4xy+2z=1为标准方程，并指出它是何种曲面［５］。

解:设方程左边二次型对应的对称阵为A，显然，A=320200002，

它的特征值为λ=4，λ=2，λ=1，由二次型的标准形就可得出标准方程为+-=1.

因此，该曲面为单叶双曲面。

3.结语

高等代数与解析几何两门课程合并授课，并不是对它们进行简单的知识合并，而是要将它们的灵魂进行结合，使得代数之中有几何的背景，几何之中有代数的思想，两者成为一个完美的结合体。这项教学改革刚刚开始，还有很多问题有待解决，这就需要我们广大数学工作者集思广益，共同努力来搭建这两者之间的桥梁。

参考文献：

［1］陈志杰.高等代数与解析几何［M］.北京:高等教育出版社，2001.

［2］杨德贵.高等代数与解析几何一体化教学改革的探索［J］.贵州师范大学学报，2005，23，（4）:97-101.

［3］郭昀.高等代数与解析几何课程合并的可行性分析［J］.曲靖师范学院学报，2003，（11）:57-58.

［4］张敏.《高等代数》与《解析几何》合并设课的教学改革［J］.吉林师范大学学报，2003，（4）:117-118.

［5］赵连昌，刘晓东.线性代数与几何［M］.北京:高等教育出版社，2001.

基金项目：池州学院教学研究项目2010jy013；池州学院教学研究项目2010jy045；池州学院《高等代数》优质课程建设。