求解反函数相关问题的误区及对策

樊银生

〔关键词〕 数学教学；反函数；相关问题；误区；对策

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004—0463（2012）24—0090—01

反函数是函数研究中的一个重要内容，是函数教学的一个重点，也是学生学习的难点.在反函数教学中稍有不慎就会走入误区，有些错误观点甚至在一些辅导资料中以谬传谬，造成误导.这里列举出求解反函数相关问题的几种常见错误，并提出相应的对策.

误区之一求反函数时忽视了原函数的值域

众所周知，两个函数若定义域不同，即使对应法则相同，也不是相同的函数.原函数的值域是反函数的定义域，若忽视了原函数的值域，则解得的结果不一定正确.

例1 求函数y=1-■（-1≤x<0）的反函数.

错解：由y=1-■得（y-1）2=1-x2， ∴x2=1-（y-1）2.

又∵-1≤x<0，∴所求反函数为y=-■.

剖析：原函数的值域为（0，1），故反函数的定义域为（0，1），而上述解法所得的反函数的定义域为[0，2]，显然不是原函数的反函数.

误区之二求反函数时忽视了原函数的定义域

有些函数其本身不存在反函数，但在其单调区间内反函数存在.在求这类函数的反函数时，除注意其值域外，同时也要注意其定义域，根据其定义域对求得的x合理取舍.

例2 求函数y=-x2+4x+2 （0≤x≤2）的反函数.

错解： 函数y=-x2+4x+2 （0≤x≤2）的值域为y∈[2，6]，又y=-（x-2）2+6，即（x-2）2=6-y，∴x-2=

±■.

∴所求的反函数为y=2±■ （2≤x≤6）.

剖析： 上述解法中忽视了原函数的定义域 ，没有对x进行合理取舍，从而得出了一个非函数表达式.

误区之三混淆复合函数的反函数与反函数的复合函数两个不同的概念

函数y=[φ（x）]的反函数指的是复合函数g（x）=[φ（x）]的反函数g-1（x），而函数y=f-1[ φ（x）]指的是y=f（x）的反函数y=f-1（x）中的x用φ（x）代替得到的解析式，即y=f（x）的反函数的复合函数，这两个函数一般是不同的.

例3已知函数f（x）=2x-1，求f（x+1）的反函数.

错解：由f（x）=2x-1可求得其反函数为f-1（x）=■x+■，从而所求的反函数为f-1（x+1）=■（x+1）+■=■x+1.

剖析：上面解法错误的原因是误认为函数f-1（x+1）是复合函数f（x+1）的反函数.事实上，函数y=f（x+1）的映射法则已不再是“f”了，当然“f-1”不是它的逆映射，正确的解法是：令g（x）=f（x+1）=2（x+1）-1=2x+1，解得g-1（x）=■x-■，即f（x+1）的反函数为g-1（x）=■x-■.

误区之四 盲目利用反函数求函数值域

在反函数存在的前提下， 某些函数运用反函数法求函数的值域的确是一种好方法，但通过反函数的定义域求原函数的值域，逻辑上属于循环解答.习惯上是将反函数的解析式有意义的x的取值范围作为原函数的值域.运用这种方法求函数值域只有在等价变形的前提下才是正确的.

例4求函数y=■（x>0）的值域.

错解 ： 由函数y=■ 可求得反函数为y=■，其反函数定义域为x∈（-∞，3）∪（3，+∞），从而原函数的值域为{y|y∈R且y≠3}.

剖析： 由于x=■>0，可求得原函数的值域为（■，3），而不是（-∞，3）∪（3，+∞），造成错误的原因是求解x时， 用x≠-2代替了原函数的定义域x>0，这是一种不等价的变形.

误区之五 认为互为反函数的两图象如果有公共点， 则公共点必在直线y=x上

原函数的图象与反函数的图象关于直线y=x对称， 原函数的图象与直线y=x的交点必是两函数图象的公共点，但两函数图象的公共点不一定都在直线y=x上.认为“原函数图象与反函数图象的公共点必在直线y=x上”这个错误的观点，不仅学生在解题时经常出现，而且在一些参考资料中也时常见到（例题略）.