破解曲线运动中的过程之美

陶汉斌

■ 例题（2010重庆）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动. 当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地. 如图所示. 已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为■d，重力加速度为g. 忽略手的运动半径和空气阻力.

（1） 求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2.

（2） 问绳能承受的最大拉力多大？

（3） 改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？

■ 解析（1） 设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有

竖直方向■d=■gt2，水平方向d=v1t

得v1=■

由机械能守恒定律，有

■mv22=■mv21+mg■d

解得v2=■

（2） 设绳能承受的最大拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力大小.

球做圆周运动的半径为R=■d

由圆周运动向心力公式，有

T-mg=■

得T=■mg

（3） 设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大推力不变，

有T-mg=■得v3=■

绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-l，水平位移为x，时间为t1

有d-l=■gt21x=v3t1

得x=4■

当l=■时，x有极大值，xmax=■d

【破解考点一】 在第一小题的解答中，考查平抛运动中的独立性原理以及机械能守恒律.

【变式一】 如图所示，一小球从一定的高度h以一定的初速度v做平抛运动，求小球落地时的速度大小.

【提纯】 此题的纯平抛运动的基本模型，可用运动学的观点或能量的观点进行求解.

【解析】 方法一：小球在竖直方向做自由落体运动

v2y=2gh

小球落地时的速度

v′=■=■

方法二：小球运动过程中机械能守恒

■mv2+mgh=■mv′2

解得v′=■

【点评】 力与运动的观点以及能量的观点是高中物理的两条主线.

【破解考点二】 此题的第二小题考查圆周运动的基本模型——绳的模型.

【变式二】 如图，长1 m只能承受74 N拉力的绳子，拴着一个质量为1 kg的小球，在竖直平面内做圆周运动，转动中小球在最低点时绳子断了，求绳子断时小球运动的速度多大？

【提纯】 圆周运动的基本问题就是通过受力分析求出向心力.

【解析】 在最低点时对小球受力分析

T-mg=m■

解得v=8 m/s

【点评】 求解圆周运动的问题关键是列出供需平衡的方程F=m■.

【总结】 本题考查了曲线运动中的圆周运动与平抛运动两个基本模型，是两个过程相链接的过程型综合题，需要我们熟练掌握平抛运动和圆周运动的解题方法.