滑块从斜面顶端释放的问题分析

吴好

■ 例1如图1所示，一质量为M、倾角为θ的光滑斜面，放置在光滑的水平面上，另一个质量为m的滑块从斜面顶端释放，试求：

（1） 滑块的加速度am；

（2） 斜面的加速度aM；

（3） 滑块与斜面间相互作用的弹力N的大小.

■ 解析我们可以通过滑块受到的合力来分析滑块的加速度，这是分析加速度的一种最为基本的方法. 滑块在运动过程中受到重力，斜面对滑块的支持力，它们的合力方向如图2中AC1的方向. 若用图2中AD、AB1的长度表示滑块的重力和斜面对滑块的支持力的大小，则AC1的长度就是它们的合力大小（其中AC的长度对应于斜面静止时，滑块的重力沿斜面方向的分力mgsin θ）.

若能求出图2中的α角，滑块的加速am就可以用am=gsin θ·■求出.

设滑块与斜面间相互作用的弹力大小为N，弹力对滑块和斜面在水平方向的分量大小相同，设滑块在水平方向的加速度大小为amx，所以有mamx=MaM. 设滑块的水平位移为x1，斜面的位移为x2，斜面的底边长为x. 根据：

x1=■amx·t2，x2=■aM·t2，x1+x2=x，利用mamx=MaM

得到：x2=■·x.

由几何关系得：x2·sin θ·■+x2·cos θ=■.

进一步解得：tanα=■，

cosα=■

=■

根据am=gsin θ·■，将cosα的值代入得到：am=■·gsin θ，

根据aM=gsin θ tanα·■=gtanα，

将tanα的值代入得到aM=■·g

这种方法求滑块与斜面间的弹力时，若用图2中AB的长度表示斜面固定时斜面对物块的弹力大小，则N对应于AB1的长度即：

N=mgcos θ-mgsin θ·tanα，

将tanα的值代入得到N=■·mg

将斜面固定与斜面滑动两种情况下，滑块的受力分析图在同一张图上对比画出，从而寻找解决问题的办法，这种解决问题的方法值得同学们学习，掌握用图2给出的力的矢量分析图，对求解一些问题会带来很大的方便，以下列举一例加以说明.

■ 例2如图3所示，一质量为M、倾角为θ的光滑斜面，放置在光滑的水平面上，另一个质量为m的滑块从斜面顶端释放，设斜面固定时斜面对滑块的作用力以及滑块的加速度大小分别为N1和a1，斜面可以自由滑动时斜面对滑块的作用力以及滑块的加速度大小分别为N2和a2，以下说法正确的是（）

A. N1>N2，a1>a2 B. N1>N2，a1

C. N1a2 D. N1

■ 解答利用图2的矢量分析图，N1和N2的大小分别对应于AB的长度和AB1的长度；a1和a2的大小分别对应于AC和AC1的长度关系. 很快能得到正确答案是B.