人的内力做功问题的分析与探讨

赵斌

(长沙市第六中学 湖南 长沙 410000)

【题目】如图1所示，在自动扶梯以恒定速度v运转时，第一次有一个人站在扶梯上，相对扶梯静止不动，扶梯载他上楼过程中对他做功为W1，电机带动扶梯做功的功率为P1.第二次这人在运动的扶梯上又以相对扶梯的速度v′同时匀速向上走，这次扶梯对他做功为W2，电机带动扶梯做功功率为P2，以下说法中正确的是

A．W1>W2，P1>P2

B．W1>W2，P1=P2

C．W1=W2，P1>P2

D．W1=W2，P1=P2

图1

解法1：人相对电梯静止和相对电梯匀速时，因为人的受力一样(重力和支持力平衡)，所以，电梯受力也一样，即电动机带动扶梯做功的功率没有变化，故P1=P2.但两种情况扶梯运动的时间不一样，由W=Pt可知，人相对扶梯静止时电梯对人做功多，即W1>W2.所以选项B正确.

解法2：人相对电梯静止和相对电梯匀速向上走时，人受到重力和支持力，两种情况都有支持力的大小等于重力，而人在支持力作用下上升的高度相同，由W=FNh=mgh可得,两种情况支持力做的功相同，即W1=W2；但人相对扶梯匀速时的上楼时间短，由W=Pt可知，人相对扶梯匀速向上走时电梯的功率大.所以选项C正确.

质疑：两种解法在不同的参考书上都有出现，似乎都有理有据.解法1从受力情况出发，确定电动机的功率不变P1=P2，进而得出W1>W2的结论.解法2从力做功出发，得出支持力做的功相等W1=W2，进而得出P1>P2的结论.许多学生(甚至部分教师在教研时提出疑问)对此感到十分困惑，不得其解.

探究：为了解决这一疑问，不妨把上面的问题分解成两种情境来考虑.

情境1：人站在匀速上升的电梯中由一楼到五楼.电梯对人的支持力是否做功？是什么形式的能转化为人的重力势能？

正解：人站在匀速上升的电梯中由一楼到五楼，电梯对人的支持力做正功，人的内力不做功.电梯做功使电能转化为人的重力势能.

情境2：人由一楼匀速走到五楼，地面对人的支持力是否做功？是什么形式的能转化为人的重力势能？

错解：人在上楼时受到竖直向上的支持力和竖直向下的重力，人的位移方向与支持力方向相同，故支持力做正功，重力做负功，地面提供的能量转化为人的重力势能.

正解：从做功的定义来看，人在上楼过程中，地面对脚底有支持力时，脚没有发生位移,而脚腾空向上运动时，支持力消失，故支持力没有做功.

人在上楼时，不能把人看作一个质点处理，从质点组的动能定理来看，人所受外力和身体各部分之间内力做功之和等于人动能的增量，人匀速登楼时动能没变，这说明人的身体各部分之间的内力做正功.因此，登楼过程中人的内力做功，从而把人体内的化学能转化为机械能，即人的重力势能是通过消耗人体的化学能转化而来的.

小结：(1)用功的公式求功时，必须明确功的公式W=Flcosθ中F及l的含义.F表示作用在物体上的恒力；l表示力F作用的质点的位移，而不一定是物体所发生的位移，只有当物体可以看作质点时，物体的位移才等于质点的位移.

(2)人上楼时，不能把人看作质点套用公式W=Flcosθ来求功，必须用质点组动能定理求解，即质点组所受外力和内力做功的代数和等于质点组动能的增量.

(3)人行走、跑步时跟上楼梯一样，求人做的功时，同样不能把人当作质点处理.

下面再用两种方法求解该题.

解法3：用动能定理求解.在题中，人相对扶梯静止时所受重力和支持力，由动能定理有

W1-WG=0

即扶梯载他上楼的过程中对他做的功W1等于重力做的功WG.

人以相对扶梯的速度v′同时匀速向上走时，人同样受重力和支持力，但此过程中，人的内力做了功，由动能定理有W2+W人-WG=0

即扶梯载他上楼的过程中对他做的功W2小于重力做的功.即有W1>W2.

至于电动机的功率两种情况下相同，这是很容易理解的，在此不赘述.

解法4：用运动的分解求解.人相对扶梯匀速向上走时，将人的运动分解为人相对电梯的运动和随电梯相对地面的运动.前一个分运动，电梯对人的支持力不做功，但人的内力做正功;后一个分运动，电梯对人的支持力做正功，但人的内力不做功.因此，电梯对人做的功W2等于电梯对人的支持力乘以电梯对地的竖直位移，显然，人相对扶梯匀速向上走时，电梯对地的竖直位移比人相对扶梯静止时电梯对地的竖直位移要小，故W1>W2.

综上所述，正确答案是B选项.

思考：人在水平地面上加速跑步时，人受到的向前的静摩擦力是否对人做功？是什么形式的能转化为人的动能？