线性代数与解析几何的第一堂课

关秀翠，周建华

摘要：线性代数与解析几何是大学生知识结构的重要组成部分，由于其知识点繁多及具有抽象性和逻辑性强的特点，很多学生认为这是一门枯燥难学的课程。如何在第一堂课上让学生认同这门课并产生浓厚的学习兴趣呢？本文根据笔者多年来在教学实践中的思考，介绍我们第一堂课六个方面的内容：本课程的重要性、与中学数学的联系与区别、与“高等数学”的联系与区别、课程的基本思想、主要内容及学好本课程的关键。

关键词：线性代数；解析几何；第一堂课；学习兴趣；杜勒魔方

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）12-0076-03

线性代数与解析几何是大学生知识结构的重要组成部分，相关课程是高等院校各专业重要的通识教育课程之一。随着计算机技术的飞速发展，线性代数理论在科学研究、工程技术和社会经济等领域中的作用日益突出，因此对于本课程的学习成效很大程度上影响到学生的学习能力和实践能力。由于课程具有知识点繁多以及抽象性和逻辑性强的特点，很多学生认为这是一门枯燥难学的课程，甚至对其庞大的研究对象——矩阵、向量空间等产生畏惧心理，更谈不上喜欢这门课程。俗话说“好的开始是成功的一半”。每门课第一堂课的一个目的是要使学生对课程的概况有个初步的了解，而对于本课程来说，第一堂课尤其重要，这是因为线性代数与学生对数学已有的认识有很大不同。首先是研究对象不再是单一的数，而是矩阵和向量这样的高维数组；其次是所涉及的概念不再是直观具体的，而是基于直观的抽象；再则课程理论的表述与学生所熟悉的方式有很大差别。这些差别可能会成为学生学习的困难，但是，如果能在第一堂课上处理好上述问题，反而可使学生更加认同这门课并对课程的学习产生浓厚的兴趣。本文根据多年来在教学实践中的思考，介绍我们第一堂课六个方面的内容：课程的重要性、与中学数学的联系与区别、与“高等数学”的联系与区别、课程的基本思想、主要内容以及学好本课程的关键。

一、课程的重要性

1.众多学科的广泛基础。线性代数是讨论数学中线性关系经典理论的课程。掌握线性代数的基本概念、基本理论和基本方法，可以为解决理工医管科各专业的实际问题奠定必要的数学基础。线性代数在经济、管理、运筹学、社会学、人口学、遗传学、生物学等领域都有广泛的应用。高校中许多专业的后继课程都以此为基础。尤其重要的是，很多工程领域的科学问题在离散数值求解时实际上就是一个线性方程组的求解问题。

2.数学思维的训练。本课程的教学目的不仅仅是讲授课程的理论，更重要的是向学生传授课程特有的思维方式，给予他们一种熏陶、训练和磨炼，这些素质会使他们受益终生。

二、本课程与中学数学的联系与区别

现行中学和大学数学教育有密切联系，理念上又有很大差别，大学数学基础课教师要在教学中发掘中学数学与大学数学学习方法的多种联系与区别：大学数学基础课在知识上是中学数学知识的延伸和拓展，思想方法上是中学数学的因袭和扩张，观念上是中学数学的深化和发展。换言之，很多大学课堂里貌似困难的新问题都可以在中学数学中找到原型。这些准备工作可大大降低学生学习数学基础课的畏难情绪，为实现学生由中学数学学习到大学数学学习的平稳过渡打下坚实的基础。大学新生要完成两个转变。一是完成学习目的从“应试”向“应用”的转变。当今大学主要培养应用型创新性人才已成为共识，这就要求学生能够将学到的理论知识应用于实践，提高自身观察问题、分析问题和解决问题的实际能力，增强自己日后的就业资本和竞争能力。二是完成学习方式从“被动”向“主动”的转变。在教学过程中，教师是施教的主体，学生是学习的主体。学习主体性是学生作为学习活动的主体所具有的独立性、自觉能动性和创造性的内在特性，它是学生主体得以确立的内在依据和根本标志。为配合学生的这两个转变，在第一堂课上应该向学生讲清楚本课程的考核方式。我们采用由期末成绩、期中成绩、平时成绩、数学实验、学术小论文等按一定比例构成的综合考核方式。这样的考核更强调学生在学习中的主体地位，教师应该充分调动学生的积极性，指导学生合理分配时间。教师要起好引导作用，为学生创造好自学和讨论的环境，并选取既能激发学生兴趣又能开拓学生思维的题目作为思考题和学术小论文的选题。

三、本课程和“高等数学”的联系与区别

一般来说，大一学生同期学习的数学课程是“代数与几何”与“高等数学”，这两门课既有联系又有区别。总体而言，代数是数量关系的科学，有序思维占主导，培养计算与逻辑思维能力；几何是空间形式的科学，视觉思维占主导，培养直觉能力和洞察力；分析是数形关系的科学，量变关系占主导，函数为对象、极限为工具，培养周密的逻辑思维能力和建模能力。这两者的区别体现在多个方面。“高等数学”主要研究实数及关于实数的函数，侧重于处理单变量的问题，“线性代数”则主要研究向量和矩阵，侧重于处理高维对象的问题。“高等数学”所涉及的数量是连续型的，“线性代数”所涉及的数量是离散型的，计算机技术的发展使得处理离散型关系数学理论的重要性日益突出。“高等数学”中诸如导数、积分等重要概念直接来自几何，其许多理论也可以直接用来刻画几何现象，而线性代数中诸如n维向量及其线性相关性等重要概念只是借助几何为之提供直观，其中大部分都是借助这一直观经过提炼抽象出来的，这就使得线性代数的理论更具抽象性。“高等数学”重数学原理的分析，“代数与几何”则更侧重于建立分析问题的框架。

四、“线性代数与解析几何”的基本思想

1.解析几何的基本思想——从笛卡尔的解析几何与古典几何作图的三大难题谈起。法国的数学家、哲学家笛卡尔（Descartes）引进了直角坐标系，创立了用代数方法研究几何问题的解析几何学。直角坐标系的伟大功绩是实现了两个几何与代数之间的一一对应：平面上的每一个点P与一对有序实数（x，y）之间的一一对应；动点的轨迹产生一条曲线与一个含有两个变量的方程之间的一一对应。从此，解析几何揭开了变量数学也即近代数学的新篇章。解析几何的一个成功的例子是解决了古典几何作图的三大难题。几千年以来，许多卓越的数学家都未能解决这三大难题，既不能找到它的解答，又不能证明它的不可行性。然而，解析几何仅通过提出并从代数的角度回答了三个问题就轻而易举地解决了这些难题，将几何作图的本质归结为求一系列二元一次或二元二次圆方程的根；将几何作图有解的充要条件归结为这些方程组的根一定可以由原方程的系数经过加、减、乘、除及开平方这5种运算表示。经检验三大难题都不满足这个充要条件，从而解析几何用这精彩的三问将困扰数学家几千年的三大难题化解在无形之中，展现了解析几何在解决该问题时的科学发现的过程，呈现了新的思维方式，即将一类问题作为一个整体加以考察，而不是对每个问题单独进行研究。通过大一新生熟悉的平面解析几何知识来揭示解析几何的基本思想，将使学生认识到用代数方法研究几何问题的重要作用，从而激起学生学习空间解析几何的欲望。

2.线性代数的基本思想——从两个游戏谈起。①从动物连连看谈等价分类。学生喜爱的一些游戏的设计思想与线性代数的思想本质上是吻合的。例如，动物连连看游戏蕴含着等价分类的思想。虽然现在大多连连看游戏都只是将完全一样的动物头像连起来消掉，但只要将游戏规则改为将同一种类动物连起来消掉就是等价分类。从理论上看，线性代数的一个重要的任务就是将矩阵不同的等价关系进行分类，这些等价关系主要是指矩阵间的相抵关系、相似关系和相合关系。这些分类方法的共同特征就是找出相应的不变量和最简形式。这就揭示了线性代数的一个重要思想——化繁为简。②从数独游戏谈向量空间。数独游戏是学生非常喜欢的数学智力游戏。数独游戏又称数字九宫格，即3格宽3格高的正方形，每一格又细分为一个九宫格。在每一个小九宫格中，分别填上数字1至9，让整个大九宫格每一列、每一行的数字都不重复。不妨尝试解析几何带来的新思维方式：将一类问题作为一个整体加以考察。下面以杜勒魔方为例来阐述其主要思想。杜勒魔方是指一个4×4数字方满足每行、每列、每一对角线、每一个小方块上的数字和相等且是一确定数。作为例子，不难构造如下两个杜勒魔方：

我们不禁要问：杜勒魔方一共有多少个？如何构造所有的杜勒魔方呢？容易看到任意两个杜勒魔方的和仍是一个杜勒魔方；任意一个杜勒魔方的任意数乘还是一个杜勒魔方。因此，如果杜勒魔方的元素允许取任意实数，且将每个杜勒魔方元素首尾相接构成一个16维列向量，那么所有杜勒魔方的集合就构成了一个向量空间。从而，上述两个问题就不难回答了：杜勒魔方有无数多个，只要构造杜勒魔方空间的一组基就可得到所有的杜勒魔方。杜勒魔方的魅力还不仅仅局限于引出向量空间和基的概念，它还可以在以后的课堂教学中引领我们揭示线性代数一个又一个的抽象概念：基于化繁为简的思想，构造由0，1构成的和为1的八个基本杜勒魔方，但它们线性相关，而去掉任何一个就是线性无关的，从而找到了7维杜勒魔方空间的一组基；当增强或者放松杜勒魔方中“和相等”的限制条件时，就可得到向量空间的子空间和扩张。用学生喜爱的游戏来揭示线性代数的基本思想——等价分类和化繁为简，使学生感受到数学的神奇，从而激发学生学习线性代数的兴趣。我们在课堂教学中的这一尝试收到了很好的效果。

3.线性代数与解析几何的联系——从勾股定理说起。解析几何为线性代数提供几何直观，许多线性代数的概念和方法都有其几何原形。比如说，勾股定理是一个众所周知的几何特征，其实在n维空间中，结论仍然成立，即当n维向量α，β垂直时，有||α±β||2=||α||2+||β||2。在实践中常用的最小二乘法就是建立在此基础上的。线性代数也为解析几何提供代数方法。比如说，平面上的二次曲线和空间中的二次曲面的分类在几何上是比较困难的问题，但是，如果借助于代数上矩阵的特征值和二次型的惯性定理，该问题就可以轻松圆满地获得解决。

五、本课程的主要内容

“线性代数与解析几何”的主要内容顾名思义分为线性代数和解析几何两部分，但是不同教材讲授的内容不尽相同，讲授顺序也各有差别，这里仅以教材为例介绍内容。线性代数的核心工具是初等变换，主要任务是求解线性方程组，为此要研究各个方程之间的关系；每一个方程对应一个向量，因此要研究向量组的线性相关性、极大无关组和秩以及向量空间的基和维数；一个向量组构成一个矩阵，又要研究矩阵的各种运算，矩阵中行列数相等的方阵还有一个特殊的行列式运算，因此最先研究的应该是行列式的各种性质和计算。知识点环环相扣，而学习的过程要按照上述从后向前的顺序进行。线性方程组的一个主要应用就是计算方阵的特征值和特征向量，从而研究方阵的相似对角化问题。空间解析几何包括用代数方法研究三维空间的直线、平面和二次曲面。基于向量的数量积、向量积和混合积，可以得到直线、平面的各种方程，并能研究直线、平面间的夹角、距离等位置关系；基于实对称矩阵的合同关系的等价分类，通过可逆线性变换特别是正交变换将一般二次曲面转化为标准形，从而判别二次曲面的类型。课程的重点和难点是向量组的线性相关性、极大无关组；矩阵的秩；向量空间的基和维数；二次曲面的类型判别等。

六、学好本课程的关键

学好本课程的关键是要解决学什么及怎样学的问题。学什么？课程知识是一个方面，更重要的是课程带给我们的数学思维方式以及应用数学知识解决问题的意识和能力。在学习过程中应当力求弄清知识产生的背景和课程内容前后的联系，增强知识的整体感、系统性和连贯性，以免淹没在知识点的海洋之中。怎么学？第一掌握三基，即基本概念（定义、符号）、基本理论（定理、公式）、基本方法（计算、证明）；第二做好预习复习，课上体会思路，课下学会总结；第三多看多练多想，深入体会思想方法，提高逻辑思维能力；第四培养自主学习能力、独立分析问题和解决问题的能力。要做好教学工作，需要我们在各个环节上认真细致的努力，作为其中一环，第一堂课的成功与否对整个课程教学有直接的影响。这几年的教学实践让我们越来越感受到努力的成效。现在，常有学生告诉我们这样的话，“原本以为这是一门比较枯燥的课程，但是在第一堂课上的杜勒魔方和连连看的例子彻底颠覆了我们原有的认识，原来看似单调的矩阵里也是一个数字的舞台，在其中向我们展示着数学神奇的魔力，也因此对这门课程产生了浓厚的兴趣”。

参考文献：

[1]周兴和，叶惟寅.实践中的好课和好课的实践[J].数学教育学报，2005，14（2）：80-82.

[2]陈怀琛，高淑萍，杨威.科学计算能力的培养与线性代数改革[J].高等数学研究，2009，12（3）：23-25.

[3]同济大学数学系《线性代数》编写组.线性代数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2007，5.

[4]朱小红.线性代数教学中学生发散性思维的培养[J].武汉冶金管理干部学院学报，2007，17（2）：53-54.

[5]侯维民.从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系[J].数学教育学报，2003，12（3）：84-87.

[6]王子和.浅谈学生学习的主体性[N].中国石油大学报，2004-6-1.

[7]陈鼎兴.数学思维与方法——研究式教学（第二版）[M].南京：东南大学出版社，2008，4.

[8]蔡光兴，李逢高.线性代数（第二版）[M].北京：科学出版社，2007，8.

[9]周建华，陈建龙，张小向.几何与代数[M].北京：科学出版社，2009，6.

基金项目：国家精品课程《线性代数与解析几何》建设项目，东南大学优秀青年教师教学科研资助计划（3207011202）

作者简介：关秀翠（1974.7-），女，河北唐山，博士，副教授，主要从事运筹优化的研究工作；周建华（1962.7-），男，江苏宜兴，博士，教授，主要从事李代数的研究工作。