有理数运算错误分析

邵继先

摘要：有理数的运算是初中数学最基本的运算，掌握并熟练运算是提高数学能力的基础。通过对负数的意义、符号运算、运算顺序、运算技巧、学生固有思维定势几方面分析，找出有理数运算易出现的错误，以提高学生的鉴别能力、纠错能力，从而熟练掌握有理数的运算。

关键词：有理数；运算错误；运算法则

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）12-0075-02

有理数运算是初中生首先接触到的数的运算，它是在学习了负数的概念、绝对值的概念及性质后才出现的，从数的分类来看，小学学的数的运算法则就是它的一类，即非负数的运算，从数的发展看，负数的加盟大大提高了数学运算解决实际问题的能力，扩充了数的运算范畴，使数有了一次质的飞跃，有理数的诞生使人类又掌握了一条战胜自然的真理。从有理数的运算法则来看，有理数的运算是非负数运算的一次继承和发展。这主要表现在以下两个方面：一是绝对值的运算，即非负数的运算，这是继承；二是符号运算，这是运算法则的发展。这两方面就是有理数运算法则的实质。从表面上看，有理数的运算似乎比较简单，学生也容易掌握，但事实上，不少同学在有理数的运算中总会出现或这或那的错误。为了使学生能尽快熟练掌握有理数的运算法则和方法，减少或克服运算错误，笔者这几年特别留意搜集并分析学生在有理数运算中出现各类错误的原因，并且在多个班举行了多次有关的研究性德学习，从笔者搜集的准则和研究性学习中学生自我归类看，有理数运算错误的主要原因有以下几点：

一、数的概念认识模糊，对运算结果想当然

笔者曾多次用同一个问题“负1减1等于几”向不同学生提问，有近85﹪的学生答案是“0”。当我给予否定的微笑时，他们才重新检查运算过程，有的还用笔写出运算，这才恍然大悟，答“-2”。从这一例来分析说明，学生对数的概念认识模糊，不是把（-1）-1看成了（-1）-（-1），就是省去了第一个负号看成了1-1，要克服此类错误，可从负数的意义上对学生加以引导，从克服学生麻痹心理上加以正确指导，运算过程要规范，不能想当然。方法之一：-1即是亏1，减1就是再亏1，总数应亏2。方法之二：加强法则认识，（-1）-1=（-1）+（-1）。方法三：加强数的比较认识，∵-1﹤1∴（-1）-1﹤0，这样也容易发现运算结果的不正确，以便检查运算出正确结果。教师在课间也应多举例，比如袋面数字5㎏±0.01的实际意义，用于强化数的概念的认识，对学生进行一些诸如“某人从家出发向西行2㎞，再向东行3㎞，问这人离家多远？在家的东面还是西面”等训练，既提高了学习兴趣，又锻炼了他们的有理数运算能力。

二、单纯比较“-”号个数，忽视法则中符号运算法则

某生作业中的一题运算过程：-（-2）2-（-2）=+4+2=6，这一病例中学生符号运算成了单纯比较负号个数，记住了“负数的相反数是正数”这一法则，但应用时不注意具体数式的结构特征，断章取义，导致运算错误。作为幂的运算符号法则“负数的偶次幂为正”，这里的底数是负数，要注意-32与（-3）2的区别，-32的底数是3，（-3）2的底数是-3，它们恰好是一对相反数，忽视相反数的意义，单纯看“-”号个数就容易出现“-a”是负数，（-a）2是负数的错误结论。要克服此类错误，可以从通过强化数学运算顺序，规范数学运算过程，熟识数的各种形式，强调数的意义入手。从克服学生对乘高次方，负底数的乘方运算的畏惧心理入手，平时多编一些有针对性的错例供学生去鉴别，去判断，去分析，找原因，对照检查自我，克服自身的痹病，同时给学生一个接受符号运算的过程，不要一口吃成一个胖子，更不要抓住学生的错误当靶子不放，一见就批，一见就打，要偱循善诱找原因，共提高。强化符号运算方面的训练，编一些如-[-（-1）]，-[-（-1）2]3，（-a）3×（-b）2等数字或字母简单一些的题目，专门运算符号，学生做多了自然就知道，有理数的运算中符号运算在先，使学生早日步入正确的运算轨道。

三、小学固有运算方法对有理数运算的影响

这一方面产生的错误大约在错解题中占32﹪，固定思维模式对新事物的认识，很容易带来负面影响，要克服这一点，就要用辩证的继承和发展的观点看问题。应该让学生知道有理数是非负数的继承，同时又是数的更深更广德发展。新教材的编排上就特别注意这一点，作为教师，就更应该把新教材的要求贯彻到整个教学中去，在继承的同时打破数的认识模式，也就是要特别强调有理数的运算法则，首先是符号，再次是绝对值的运算，也只有这样才能克服小学固有的运算方法对有理数的影响，打破数只能是大减小，克服a是正数等等之类的认识错误。学生们经过六年小学数学学习，非负数的运算模式根深蒂固，一道数学计算出现在眼前，他们最想做而且去做的事，就是数的运算（非负数运算、绝对值运算），往往只顾数字运算，丢失符号运算。笔者曾给学生们做“24点”游戏，学生们基本会做，但做“-24点”游戏时，不但运算速度慢，且经常给不出答案，为此我们教师应该给他们多创造一些类似的机会，让他们学会打破定势，善于接收新观念，新规则。

四、数的变式意识薄弱，数的技巧薄弱带来的错误

有理数的运算不但是直观的运算，与其他事物一样，还可通过变式来简化运算过程，体现自身的运算技巧。笔者曾给学生一题“1-2+3-4+5-6+7-8=？摇？摇？”，学生们基本按运算方式“正数做一组，负数做一组”来进行运算，繁杂了运算过程，虽然花时间做出了正确答案，但效率太低。笔者试着提醒他们，1-2=？摇？摇，3-4=？摇？摇，…，这时他们才醒悟过来，可见运算一变式，一组合，给我们带来很大的好处，省时省力，准确率高，不易出错儿。比如，学生计算2■×23=（2+■）×23=46+17=63，这反应了学生对非负数运算技巧把握较好。计算-2■=（-2+■）×23=46+17=-29就出错儿，这种错误就是负带分数的意识薄弱，再比如：-6■×27=-（6+■）×27=-（162+26）=-188，这题虽然运算正确，但反映了学生数的技巧意识不强，正确的技巧运算是-6■×27=（-7+■）27=-189+1=-188，要克服这类失误，就应从学生技巧意识抓起，要从多方挖掘学生技巧意识潜力，比如举行“技巧运算比赛”、“比一比看谁算得快”等活动，既能激发学生学习兴趣，又能在活动中挖掘技巧意识潜力。