微积分概念教学研究之述评

高雪芬

摘要 微积分的概念定义中蕴含着丰富的思想方法。微积分概念学习中有哪些问题？如何进行微积分概念教学的改革实验，概念教学的效果如何？现有的研究具有哪些特点，能从国外的研究中学到些什么？关于微积分概念教学还有哪些需要进一步研究的问题？本文着重以Chappell的研究为例，分析了上述问题。

关键词 微积分；概念教学：述评；研究课题推荐

中图分类号 G642.0

文献标识码 A

文章编号 1005-4634（2012）05-0036-03

0 引言

近年来，各国出现了诸多与微积分概念有关的研究。如以色列Kidron和西班牙Barbe等人对“极限”概念理解的讨论，英国Bingolbali、美国Dubinsky对导数概念理解的研究等。研究表明，很多学生对连续性、可导性、二阶导数等缺乏正确理解。一些学生对极限、连续、导数的概念意象是片面、冲突、甚至是缺乏的，不理解它们两两之间的联系。有的学生在计算方面取得高分却不能正确理解微积分概念及其相互关系。在教学时间有限的前提下，学生概念理解与技能发展似乎成了一对矛盾，该如何有效进行微积分概念教学？

美国科罗拉多州立大学Kelly K.Chappell采用量化研究和质化研究结合的方法，探讨了教育环境（基于概念教学的或者传统的）对学生概念理解、应用技能、迁移能力等方面的影响。研究方法细致严谨、实验效果显著，对我国的数学教育改革很有启示，值得我国大学教师及教育研究者借鉴。

1 Chappell研究概述

文章研究了教育环境（基于概念教学的或者传统的）对学生概念理解、应用技能、迁移能力等方面的影响。全文共7节，第1节介绍研究背景；第2～5节分别为量化、质化研究的方法与结果，第6、7节为研究的结论与展望，各节具体内容如下。

1）背景。美国的微积分教学改革自20世纪80年代蓬勃发展起来，目的在于注重本质，帮助学生获得对微积分思想的深刻理解。虽然已有很多文献描述了教学改革的情况，但基于观察或实验的研究较少，所以Chappell等人开展了概念教学的实验研究，分析教育环境对学生能力、技能的影响。

2）量化研究方法。在综合考虑了教师教学水平、所获得学生评价及擅长教学风格后，选择4位教师参与研究。其中概念班的两位教师注重概念教学：课堂大部分时间（75%）用于帮助学生更好理解概念上，只有少部分时间（25%）用来训练技巧；注重一题多解与多种表征；学生需要展现和解释他们在解决问题时用到的不同方法。传统班的两位老师则恰恰相反。教师们会在每周商定具体内容的讲授方法。此外，为观察两组的实际教学情况，一位监督教师会随机听取这4个班的课程，每个班共听10次。参与的144名学生（概念班为42与37名，传统班为34与31名）是自愿选择组别的，他们并不知道自己正参与一项研究，在开课第一周学生参加了一个预测试，测试结果表明两组无明显差别。

研究工具为期中与期末考试。为便于分析，请6名教师将考试的每一道题目划分到“程序技能子测试”和“概念理解子测试”中去。需要学生将已有知识拓展到未知领域中去的问题被称为扩展问题，扩展问题也属于“概念理解子测试”。任课教师在考试前无法看到试卷，试卷批改采用流水作业，每个题目的评判者信度达到95%以上。

3）量化研究结果。从表1中可以看到，在“概念理解子测试”中，概念班的成绩均显著高于传统班。此外，在期中和期末的扩展题目中，概念班的正确率均显著高于传统班，而且概念班的学生更能够准确地解释自己的答案。

4）质化研究方法。概念班的73位学生中有63位参加了访谈，传统班的学生没有进行访谈。访谈含3个问题：（1）这个班老师的讲授方法和你以前上过的数学课的方法有没有不同？

（2）许多评论家指责：致力于概念理解的微积分改革运动，只教给学生一点点表面的技巧，使得高中和大学的微积分教育“每况愈下”。相反地，还有一些专家认为即使程序练习不是概念班的教学重点，概念班的同学在程序性问题的解决上也不会比传统班的学生差。请根据自己第一学期微积分课的经历，谈谈对这些论断的看法。（3）你以后是愿意上强调技能练习的课程还是愿意参加强调概念理解的课程？

5）质化研究的结果。有58个学生觉得他们班的教学方法和以往的不同；有60个学生认为概念班的学生在解决程序性问题时的表现不会比传统班的学生差；60个学生投票说他们喜欢参加侧重概念的数学课，3个学生投票说喜欢侧重程序步骤的数学课。这些投票精确地反映了调查报告结果。

6）结论和讨论。概念性的理解有助于解题技巧的掌握；基于概念的教学方法在保证学生解题技巧的同时加深了学生的理解；理解而掌握的知识与程序性知识相比更容易推广到陌生的领域。

7）进一步研究。概念性教学结果是否与学生数学基础有关；长效作用及与后续课程衔接问题。

2 研究方法评述

作者由远及近地介绍了研究背景（美国课程改革、现有文献、实验学校、课程、参与者）、研究的假设及教育环境的界定。在界定教育环境时，除二级指标外，还给出了每种教育环境的教学实例。

在量化研究中，首先对学生进行前测，避免数学基础不同对教学效果的干扰；学生并不知道自己在参与一项研究，避免了学生情绪动机的干扰；参与实验的教师采取的授课方式既跟实验要求一致又与自身固有的授课风格一致；由授课教师以外的其他教师来听课、观察、记录，再由作者、观察者和另一位没参加实验的教师分析记录，作者、观察者、实验者、分析者等实现了多角度互证，提高了研究效度；每周教育例会上，授课教师与研究者研讨教学内容以保证教师始终采用符合研究要求的授课方式授课；在6位教师对试题进行分类时，除第10题有分歧外，其它题目均一致，故最终第10题没有归到任何一个子测试中，而是被单独分析。

质化研究中，设计者尽量限制访谈题目的数量以保证得到细致、准确的回答。问题2中，研究者没有请学生直接评价授课效果与学习效果，而是请学生对他人的观点进行评论。问题3希望通过学生的愿望反映学生对概念性教学的认同情况。结果表明：与问题1和2中学生对概念性教学的一致认可不同的是，在问题3中由于关系到学生未来的选择，同学们表示了更多的忧虑：“我们更喜欢注重概念但同时也不摒弃解题练习的数学课”；“要想进行教改，必须先有好老师”；“概念班的学生在微积分第二学期可能会比不上传统班的学生”。值得一提的是，访谈问卷会提前两天发给学生，并请学生回答并上交。访谈时，每个问题都先由学生主动给出答案，再进行投票。除了对访谈进行录音、分析、编码外，研究者还将纸质问卷、访谈时学生的回答及投票结果进行比较，结果表明三者是一致的，这进一步保证了研究的科学性。

此外，围绕概念教学Chappell共进行了3次相关实验㈣，1998年秋的第一次实验包括305位大学生和8位教师，为了避免结果的偶然性，1999年秋又进行了第二次实验，包括303位大学生和8位教师。两轮研究的结论一致。除此之外，作者还分别于1999与2000年春季学期进行了后续研究，分析学生从基于概念环境到传统教学环境过渡时所面临的困难。在这些研究基础上，又进行了第三次实验，此次实验强调了两类教学中教师数量和教师教学水平的平衡，对量化和质化研究的设计更加细致，如量化研究中请老师对题目进行分类等。这一系列的实验，使研究结论更具科学性，从而避免了老师和学生水平的差异所造成的偶然结果。

实验是卓有成效的。本研究中，概念班的“概念理解子测试”成绩显著高于传统班。此外，尽管传统班用90%的时间进行程序性的练习，而概念班只有25%的时间从而只能做基本的练习，但是概念班在“程序性练习子测试”中也不逊于传统班，甚至比传统班略高。此外，在学生以前没有遇到过的扩展性问题上，概念班的表现要显著地好于传统班，概念班的学生更能够将自己所学知识应用到未知的领域，迁移能力更强。以上说明概念班注重概念教学、强调多种表征、一题多解、引导学生解释自己的答案、策略的教学方法都是行之有效的。

3 反思

一些教师认为，高等数学只要教会学生怎么用就可以，没必要深究概念，深究概念可能会使学生越学越糊涂，而Chappell等人却证实进行概念教学是“磨刀不误砍柴工”。作者进行的基于概念教学的实验无疑是成功的，但能否推广呢？在我国，很多教师喜欢“易教易学”的授课方式，喜欢“立竿见影”的教学效果，对于这种需花费教师很多精力进行教学研究、改革的授课方式，是否能推行？

文中的两个扩展性问题也很有趣，一是绝对值函数在特定点的可导性判定，一是当速度函数是时正时负时，位移与路程的积分表达式。这两个问题在我国是“常规”的，甚至不过是老师课上的一个小例题，而在美国却是概念班与传统班都未讲过的难题，是不是在解题训练上做得太多了呢？

4 值得进一步研究的问题

1）如何进行大学数学概念教学的设计？前人已经对微积分中的概念理解情况进行了比较细致的研究，但是以分析学生学习困难的居多，而对概念教学进行具体设计的却不多见。对于大学数学教师来说，需要一些教学内容的具体设计方案。所以可以进行微积分概念教学的设计研究，在研究中给出一些具体的概念教学设计的详细方案与教学效果检验及教学设计的改进过程，以供教师参考。

2）什么样的学生更适合侧重概念教学的教育环境？美国微积分改革奉行三原则，即将微积分概念的三个侧面：图像、数和符号同时展现，学生可以通过这三种方式学习微积分的概念。对于中国学生是否有必要参照这三原则进行讲授？不同类别的学生，如数学系的学生、其它理工科学生、经管类学生在数学基础及理解能力上都有差异，是不是所有学生都适合强调概念理解的教学方式呢？英国数学教育学家斯根普指出对数学的理解包括两类：关系性理解与工具性理解，对于工科学生是不是对数学概念只达到工具性理解水平即可？哪些概念需达到关系性理解？进行强调概念的教学改革对教材有什么要求？能否编制相应的教材？概念教学环境对不同层次学生有什么影响？

3）概念教学的延续性？教育是一个长期的过程。强调概念理解的教学环境是不是对培养学生有长期的效果？是否有利于学生后续其他课程的学习？学习了概念教学环境下课程的学生如果在后续课程中遇到传统的教学方式，他们能否适应？能否作一个跟踪研究，了解概念教学的长效作用？

美国于20世纪80年代起进行了轰轰烈烈的微积分教学改革，从而带动了其大学数学的教学研究工作。相对来说，我国的高等数学教学研究比较薄弱，很多局限于经验总结层面，希望能有更多的实证研究来推动我国的大学数学教育改革。