小学几何新授课教学的思维台阶和结构安排

余志军

【摘要】小学几何新授课不但要关注知识与技能，更重要的是关注学生方法的获得和思维的发展。为此，几何新授课有必要根据学生学习新知的规律来定位思维发展的台阶和相应的课堂结构。我们可以把一节课按过程的推进，在思维发展的目标上设置成四个思维台阶，与之对应地，把课的环节设计成四个板块。本文通过前后课例的对比，对四个思维台阶和相应的课堂结构进行了说明，并提出了实现的基本策略。

【关键词】几何新授课 思维台阶 课堂结构

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）05-0095-04

一、几何新授课教学的现状及分析

新课程实施以来，传统的几何知识教学从内容上得到了拓展，从目标上实现了转移，从教学上得到了加强，成为教学“四大领域”之一，几何新授课教学在小学数学新课程中占有十分重要的地位和作用。

请看两个教学课例：

课例1：三年级上册数学《周长的认识》这课时的教学。

有位老师是这样来进行课堂操作的：

呈现下列素材（图1），引导学生认识平面图形的周长。

师：你能指出上述图形的周长吗？

师：下面水池的周长在哪里？（呈现游泳池如图2）

在老师的引导下，学生指平面图形和泳池的周长。

呈现下列素材（图3），引导判断是不是周长。

接着让学生比较周长。素材是图4所示的材料。

课例2：六年级上册数学《圆的面积》这课时的教学。

这是某老师的课堂教学流程和主要活动：

呈现材料（图5），引导复习长方形、平行四边形、三角形、梯形的面积公式。

你还记得长方形、平行四边形、梯形的面积公式是怎样的吗？

部分学生对公式进行了复述，老师进行了板书，并引导学生进行了复习。

第二个环节，引导学生尝试用教材配套学具把圆转化为学过的图形，推导面积公式。

学生在老师的指导或看书的基础上把圆平均分，再剪拼成长方形或平行四边形（图6）。

经过师生共同讨论，知道平行四边形的底和长方形的长近似于圆周长的一半，平行四边形的高和长方形的宽都等于圆的半径。就是“圆的面积=圆周长的一半×半径”，所以“圆的面积=半径的平方×圆周率”，即“S=πr2”。

第三个环节，提供几个典型问题模式，引导学生初步运用公式计算（图7）。

学生计算后引导小结：学到这儿你知道了什么？部分学生回答后追问：还有什么想说？

第四个环节，利用问题，引导学生进行思维的综合和知识的深化（图8）。

上述两节几何课，单从内容上来说应该是典型课例，因为不管新旧哪个版本的教材都被保留了下来。我们可以从教学中看到，同样的教学内容，跟以往比，课堂上所呈现出来的差别还是明显的。比如，素材内容更丰富了。《周长的认识》一课，从学生熟悉的规则图形入手，过渡到不规则图形，再终结为规则图形。《圆的面积》则从有联系的旧知出发，利用学具操作从两个不同途径推导出面积公式，在解决现实问题中运用和理解公式，增加了更易理解的现实内容。再比如，教学更重视学习活动的设计。课堂有观察，有思考，有操作，有交流，有计算，有推理等，而老师退到幕后专做服务的意识强了。又比如，教学目标的侧重点已经转移到引导学生感悟上。两节课都很重视设计一些图形素材，结合一些活动，用更多的时间让学生去体验，去感悟，没有把周长的计算、面积的计算作为重头戏。这些都是老师在磕磕碰碰的前进中所取得的进步。

然而，我们细心分析仍旧可以发现：

《周长的认识》这个课例，从环节上看基本可以划分为三个过程：指出周长→判断周长→计算周长。很显然概念的形成过程太简单化了，而作为“周长的认识”教学，周长的计算又要求过高了。最大的原因是“书上就是这么编排的”，而且提供的素材大致也就是这些，“况且周长这么简单的知识不用教都会”！事实真的是这么简单、这么理想吗？典型的以成人经验代替学生思维。事实上一节课学习后，多数学生连什么是“数学上的周长”都没弄明白。因为老师没有从整体上把握知识，没有关注学生的学习起点，教学中对思路和方法体现不多，就造成缺乏从现实事物到初步抽象，再到本质概括的这么一个几何概念的类化、提炼、凝聚的感悟过程。

《圆的面积》这个课例，尽管学生有一定的操作活动为支撑，但这个活动还不充分、不全面、不深入，没有从知识的形成和发生发展的过程以及学生思维过程展开探索，最多只是复制教材设置的内容，知道圆面积公式是怎么样的，初步掌握运用公式进行计算的技能。换句话说，学生的学习还只是停留在对模型的记忆和模仿层面。由于课堂没有更好地展开，没有让学生尽可能地暴露思维过程，学生对新旧知识的连贯和扩展，对怎样研究数学问题，对知识的深层理解还不够。

这两个课例所表现出来的性状，一定程度上可以看成是当前几何新授课的缩影。

二、我们对几何新授课的设想及改造

那么，几何新授课到底要教会学生什么？是不是传授新的几何图形知识，形成新的图形计算技能，有了关于图形的新感知就算达成了教学目标呢？

当前，小学数学新授课，不但要传授新知识，引导形成新技能，获得数学新认识，而且还要引导学会研究新的数学问题，积累研究经验，感悟数学方法，获得思维发展。新授课是最常见、最根本、最重要的课型,因而新课里引导学生学会探求新知识，把知识运用于实际，培养数学能力、发展数学思维尤其重要。几何新授课同样要满足这些要求。另外还担负着引导学生认识和研究初步几何知识，形成初步图形想象能力和空间思维的重任。

所以小学几何新授课不但要关注知识与技能，更重要的是关注研究经验的积累和基本思想方法的获得。

为此，几何新授课有必要根据学生学习新知的规律来定位思维发展的台阶和相应的课堂结构。我们可以把一节课按过程的推进，在思维发展的目标上设置成四个思维台阶：思维的唤醒与整理；思维的沟通与类化；思维的深化与拓展；思维的突破与优化。与之对应地，把课的环节设计成四个板块：情境与铺垫；探索与感悟；运用与归纳；变式与反思。

在这样的思想指导下，上述两个课例教学上应有怎样的变化？

课例3：《周长的认识》。

本课要真正让学生体验到“周长”这个概念是怎么形成的，懂得数学上“周长”的概念，领悟解决图形的周长基本方法是什么。

第一环节，情境创设。

我们应该提供生活情境，例如“沿操场跑一圈”、“人们做游戏围成一圈”、“花坛四周的界限”、“镜框用彩带包一圈”等图片，引导学生有重点地看一看，让学生感受到生活中的周长原型——“一圈”。生活中的“一圈”就是数学上讲的“一周”。

这样做就把学生的生活经验和数学知识建立了联系，通过对其中共性的整理，使生活问题有了数学思维的成分，自然过渡到周长的学习。

第二环节，理解概念。

首先，应该让学生摸一摸身边事物的“一周”，体会有的一周长些，有的一周短些。例如“数学书的一周短些”、“课桌面的一周长些”；“课桌面的一周短些”、“黑板面的一周长些”……也就是说，物体或平面的一周相比较是有长短的，数学上把物体或平面图形一周的长度，就叫“周长”。

其次，让学生指一指平面图形或物体的周长（类似上面课例1中的图1、图2），完成由实物到图形的迁移。

然后，通过一些素材的判断（类似上面课例1中的图3），体会数学上“封闭”图形一周的长度才称为周长。

到这里概念的学习可暂告一段落。“周长是怎么来的”、“什么是数学上的周长”基本交代清楚了，周长的完整概念可算初步建立：“物体或封闭图形一周的长度，叫作它们的周长。”

周长概念的建立，不是靠灌输，而是借助一系列探索和感悟性活动，在不断比较、综合和判断的思维活动中完成的。

第三环节，感悟策略。

接下来的学习活动，是否应该像上面课例那样，引导学生进行周长的计算呢？

答案是否定的！“为什么要计算周长？”、“周长为什么要这样计算？”、“计算周长要注意什么？”学生一定有这样的疑惑或好奇心，我们难道不应该考虑学生的知识经验和满足孩子的需求吗？这些应该在周长计算之前得到解决。所以，我们要做的不是急急忙忙去教学生怎么计算周长，而应引导学生去探索为什么要计算周长和计算周长的总体策略是什么。

我们可以提供不同形状的物品和一定的测量工具，引导学生想象要给它们围上一周的装饰彩带，要求学生以小组为单位开展协作活动，想出办法算出彩带的大致长度。物品可以有意识地设置为“一般的四边形物品”、“长方形”、“正方形”、“五角星”、“圆形镜子”等；提供直尺、软皮尺、彩纸带等。由学生按小组自己选择研究的对象，发挥集体的力量，找出合适的途径和方法。

学生活动后，认真组织进行反馈和评价。在反馈过程中，要充分暴露学生的想法，引导学生体会和发现：解决周长，一般的方法是“测量+计算（相加）”；不过测量和计算都要根据具体图形，尽量采用最简便的方法，如“五角星”只要测量一条边，计算时用乘法。

学生方法策略的感悟，是在正确运用概念，进行综合拓展和合作交流活动后获得的。

第四环节，变式优化。

提供材料（图9）。要求：怎样知道下列图形的周长呢？

由于图形有凹陷，可能会给部分学生制造一定的困难，有的可能量的线段会比较多，有的就可能找出最优化的方法。

整堂课把概念的发生发展过程、学生的思维过程、教师的教学过程三者同步并行，学生的体验和感悟就更深入，同时为今后进一步解决图形周长问题打下了更坚实的技能、方法和思想的基础。

课例4：《圆的面积》。

《圆的面积》这节课，新旧课程的多数教材，都是直接让学生“把圆平均分成若干扇形，再拼成近似长方形”推出圆面积的计算公式。那么，怎么解答学生心中的疑惑：为什么要把圆这样等分？又为什么要这样拼组？是否还有别的可能呢？我们可以尝试这样做：

第一板块，铺垫启动。

首先，引导理解“圆面积”的含义，体会与面积相关的因素是什么。

通过长方形、正方形面积的迁移，理解圆面积的含义，并由经验知道圆的面积和半径、直径有关（图10）。

其次，引导估算，得出圆的面积在2r2至4r2之间。通过估算学生可以更接近目标：圆的面积和r2直接有关；利用过去数方格的方法不可能得出圆面积的计算公式（图11）。

到这里，学生在心理上已经激起了探究的欲望和必要的思想准备，知道解决问题必须用过去不一样的方法才行。

第二板块，探索感悟。

思路导引。圆的面积到底是r2的几倍？能不能像过去那样，把圆切拼成已经学过的图形来推算呢？学生猜测议论后，呈现图12进行思路导引。

初步尝试。学生初步一尝试就会知道，利用过去简单的切拼方法是不可能拼出的，原因为圆是由曲线围成的。

适时帮助。能不能“化圆为方”转化成学过的图形来推导它的面积计算公式呢？要“化圆为方”，应该把圆怎样分割？ 提供学生科学的思路（图13）。

放手探索。由学生自由选择“化圆”为合适的“方”。学生活动反馈后，依次呈现不同的具体转化图形来暴露想的过程（图14，15）。

如果没有学生能拼出近似长方形，老师需要补充出来，因为近似长方形尽管不容易想到，但要是能拼出，它的边更直，从某中意义上说，学生会觉得“误差”更小，更容易理解转化后的面积与圆面积是相等的。

引导表征。从上面的不同转化中，共同的地方是什么？那么圆的面积可以统一为一个怎样的计算方法呢？讨论比较后得出：圆的面积=周长的一半×半径=半径2×圆周率，字母表示为:S=πr2。

这是本课突出重点、突破难点的环节。围绕圆面积公式的推导，根据知识本身发展的顺序和学生思维的特点，呈现了丰富的知识现实背景，引导学生进行数学探索活动，并且引导学生在比较综合中建立数学模型或者说把知识符号化。在关注知识和技能的同时，突出了学习方法指导和解决问题的数学思想方法感悟。

第三板块，运用理解。

模型建立后，及时运用到现实情境中解决问题，是理解和完善细节的最好途径。材料的选择上，注意典型性、针对性和现实性。前面课例2中图7，图8都是比较好的素材。

通过运用，可以促使学生更深地体会到：计算圆的面积，要围绕着找圆的半径或半径的平方入手。

第四板块，反思总结。

着重引导学生回顾：我们是怎么知道“圆的面积=半径2×圆周率”的？通过这节课的学习研究，你能提供什么经验？

就是说，即使是总结反思，也要根据学生情况抓住时机，尽可能多联系方法和策略。

回过头再来看这两个课例可以发现，它们的共同之处在于：关注知识与技能同时，把过程的经历、方法的感悟和数学思维的培养当作重点。如果把课比作是一篇文章，这样定思想，立意深了。

三、重构几何新课教学的基本策略

怎样做到四个思维台阶和四个层次课堂结构的有机结合，从上述两个改造的课例当中，也可以得到一些启示或者说基本策略。

1．从生活原型或学生经验出发，抽象出直观形象。

小学生学习几何与成人不同，是以已有的经验为起点的。这个经验可以是看到的生活中原生态物品的外在形象即生活原型，也可以是操作活动中积累起来的直观感受。比如，《周长的认识》课例中，“周长”概念的建立。学生大脑首先感知的是事物“一圈”，“有的一圈大些”，“有的一圈小些”；经过观察，比划、判断、交流等活动，得到一个“周长”的直观认识；再通过物品图形化，“一圈”演变成一周线段的长度，就抽象出数学意义上的周长概念了。《圆的面积》课例中，“圆的面积”的感知，开始是借助正方形面积，通过观察，猜测、比较等活动实现的。通过活动，初步感知到圆面积和半径、直径有关；进一步估算对比后，确定圆的面积应比2r2大、比4r2小。

可见，从生活原型或学生经验出发，抽象出直观形象，就是要利用学生脑海里事物或图形的形体经验，结合有效的操作、感悟等活动，不断去掉非本质特征，逐步逼近本质特征，实现建立一个几何模型。

2．从核心概念或基本规则入手，渗透解决问题的方法。

小学生一个空间观念的形成，需要经历由经验到直观、再到标准形式的渐进过程，而且这个过程对直观的依赖比较强。这就意味着，一节课，我们最好抓住一个核心概念或一个基本规则来设计，并且不能照本宣科似的直接告诉结果。所以最好的办法就是把核心概念或基本规则，设计成几个相互联系的问题，引导学生去“做”。比如，《周长的认识》中，围绕“周长”概念，设计了“看一看”、“摸一摸”、“指一指”、“判断”、“量一量”、“想一想”一系列递进式问题，引导学生经历一系列直观感知活动，在操作中完善了对“周长”的认识，积累了活动经验。《圆的面积》中，紧扣“圆的面积公式”，设计了“圆面积的因素体验”、“估算圆的面积”、“转化为旧知定向”、“动手剪拼”、“交流比较和归纳”、“运用和变式”、“反思方法”等要求学生完成的活动，这些活动填补了学生经验和思维上的空白，使知识的演绎变得更严谨、更自然。

这样，学生就在“做数学”的过程中，丰富了空间形象，自然而然地掌握了核心概念或基本规则。更重要的是，课堂的重心得以转移到重视数学思想方法的感悟上来，对怎样解决数学问题起到一个引导和示范作用。仔细回想，小学里，绝大多数图形面积公式的推导，基本遵循了这样的思路，甚至对立体图形体积公式的学习也起到了正面作用。

3．重视学生想象和交流，引导类化和概括，促进深层理解。

小学生在开始研究图形的时候，总是用经验来思考和用描述性的语言来叙述概念。比如，“周长”，开始会理解和描述成“边沿”；一提“垂直”，就会形成“竖直、横平”的形象，，描述起来也大致是这样的词语。学生的几何语言是在对图形的操作实验后，通过对话和交流逐步发展起来的，能正确运用几何语言是几何概念形成的重要标志。当一个学生用几何语言对几何现象进行描述时，另一个学生能根据描述很快用一定的方法呈现出来，具有这样的能力，我们可以说具有了空间想象。

几何教学中，要经常组织学生在观察操作后进行交流与讨论，充分暴露不同学生的思维过程，引导倾听和想象。还要在此基础上引导对比不同思维过程中的思路与方法，注意有意识地让学生去归类与概括。挖掘思路与方法之间的本质联系，促进对知识的深层领悟。比如《周长的认识》中，学生分小组测量研究不同图形的周长后，及时组织学生交流和讨论，使学生感悟到，尽管图形不一样，用的工具也不一样，但基本方法还是“测量+相加计算”，综合了思路，形成了基本策略。《圆的面积》里，学生剪拼后，分的份数不同，拼得的图形也不同，边的长规格更是不同，但是经过分析，发现面积都不变，还是圆的面积。经过按各自面积公式计算后，可以看出能统一为“半径2×圆周率”。这里面还包含了丰富的想象：分的份数越多，“圆”越接近“方”。

4．注重开放和变式，引导用多种思维解决问题。

开放包括内容的开放、方法的开放、心理的开放。内容上没有开放性，就不会有思路上的开放，没有思路上的开放，那就没有知识和方法上的沟通和联系。这样的几何课只能是单个图形、单一特征的孤立学习，学生是不可能有活力和创新的。而心理的开放，是一切的基础。要放开老师自己的心理，不要怕放手；要给学生信心和鼓励，激活学生的思维，让几何课成为探究的乐园。《周长的认识》、《圆的面积》课，从开始到结束，主题都只有一个，但素材和内容是丰富的，因为素材比较丰富且有一定弹性，所以学生探究活动中学生表现出了思维的求异。

《周长的认识》和《圆的面积》还有一个共同特点，就是最后环节都进行了变式。几何里的变式，通常指改变图形的标准形式而不改变本质特征。我们看到，《周长的认识》的最后，正是这种变式：表面上看计算图形周长似乎是不可以的，事实上经过平移变化是可以的；而《圆的面积》提供了一种“变式”范本，即思路的变式：学生想要求半径是有困难的，必须另寻途径才行。

开放也好，变式也罢，无非就是要学生多种思维解决问题。这是我们几何教学培养学生求异、求新的途径。

四、几何新授课更美好始终是理想的追求

记得有位小学数学教育界的学者说过：“数学课有四种境界，第一种境界是引导学生解题；第二种境界是教给学生知识；第三种境界是教会学生方法；第四种境界是启迪学生思想。”当然我们平常听到的数学课，多数是一种复合课，既有这种境界的特点，又有那种境界的特征。一般地，能够做到第二和第三重境界的综合，已经是相当不错的了。能做到第四重境界的，当之无愧是属于“大师”级人物。

尽管要达到第四重境界近乎不可能，但我们仍要把它作为一个理想来追求。只要进行更努力地修炼，实现这个愿望也并非遥不可及。小学几何新授课教学的思维台阶设置以及结构怎样安排？说到这，不知能否得到您的赞同？

参考文献：

[1]庞维国. 数学学习与教学设计. 上海教育出版社. 2003

[2]平国强. 教学设计关注的重点和教材资源的开发利用. 2008

[3]郑毓信. 数学思维与数学教学. 2009