固定利率住房抵押贷款定价研究

阮龙江 薛双霞

摘要：由于缺乏经验，我国商业银行固定利率住房抵押贷款定价存在不合理性，既影响了固定利率住房抵押贷款业务的健康发展，又导致了借贷双方风险与收益的不匹配。在市场利率服从几何布朗运动的基础上，本文从隐含期权视角出发构建固定利率住房抵押贷款单位风险收益最大化模型，并求出最优解，为商业银行固定利率住房抵押贷款定价提供理论和技术参考。

关键词：固定利率抵押贷款；隐含期权；单位风险收益；利率定价

Abstract：Due to limited experience，the pricing of fixed-rate mortgage of commercial banks in China is not well implemented，which not only effects the healthy development of fixed-rate mortgage，but also leads to asymmetry of risk-income between borrowers and lenders. Given the market interest rate consistent with geometric Brownian motion，we build a maximized return per unit of risk model about fixed-rate mortgage from the perspective of embedded option. The aim of this paper is to provide theoretical and technical reference for commercial banks fixed-rate mortgage pricing.

Key Words：fixed-rate mortgages，embedded option，return per unit of risk，interest rate pricing

中图分类号： F830文献标识码：A文章编号：1674-2265（2012）06-0014-05

一、引言

自1998年住房制度改革以来，房价不断上涨，居民的可支配收入不能满足对住房的潜在需求，住房抵押贷款业务得到迅速发展。与国外不同，我国住房抵押贷款业务长期以来采用的是逐年随政策调整利率的浮动计息方式，在利率不断波动的背景下，借款人可能面临较大的利率风险。

根据央行规定，自2004年1月1日起，国内商业银行发放的人民币中长期贷款可以实行固定利率方式。此后，光大银行、建设银行、招商银行等商业银行相继推出各种固定利率住房贷款产品，固定利率住房抵押贷款业务有了一定发展。所谓固定利率抵押贷款，是指在整个贷款合同所规定的贷款期限内贷款利率不随市场利率变化而改变的贷款。2006年1月5日，光大银行在北京和上海推出“阳光生活”固定利率住房贷款，成为首家推出固定利率住房抵押贷款的银行，随后又逐步推出“阳光生活住房套餐”组合贷款、固定利率与浮动利率相互转换业务等。2006年2月2日，招商银行对普通固定利率贷款进行结构性创新，在全国范围内推出极具特色的结构性固定利率住房抵押贷款产品，其最大特色是在整个固定利率房贷期内，可以分段执行不同的利率，如10年期固定利率住房贷款，可以在贷款前5年执行一个利率，后5年执行另一个不同的利率，但在两个固定期内，利率保持不变。2006年10月，建设银行正式推出固定利率个人住房贷款业务，产品模式主要有“完全固定利率”、“固定利率+浮动利率”、“固定利率分段组合”和“固定利率+浮动利率分段组合”4种，其中，“固定+浮动”和“分段组合”打破了市场原有固定利率贷款必须全程固定的局限，可以满足借款人在不同期限档次执行不同固定利率的要求。

固定利率抵押贷款业务促进了我国信贷产品的多样化发展，在一定程度上满足了多样化的借款需求，有助于银行更好地管理商业银行住房抵押贷款，但固定利率住房抵押贷款同样面临利率下降时的提前还款风险。因此，对商业银行而言，推行固定利率住房抵押贷款的关键，在于在自主定价体系下如何确定合理的贷款利率水平，实现风险与收益的平衡。我国固定利率住房抵押贷款业务从推出至今，只有几年时间，固定利率住房抵押贷款业务正处于快速发展时期，尚未经历一个完整的经济周期考验，其定价模式不合理，提前还款风险识别及管理能力较弱，管理方法和管理技术缺乏，因此，对其定价进行研究具有很强的实际意义。

二、固定利率抵押贷款及其隐含期权行为

由于固定利率抵押贷款和浮动利率抵押贷款之间的差异，浮动利率抵押贷款借款人面临着较大的利率风险。随着利率市场化程度的不断加深，以及不断增强的加息预期，较大的利率风险从某种程度上会抑制借款人对住房抵押贷款的需求，不利于刺激对住房的消费。因而适时推出固定利率抵押贷款，有利于不同风险偏好的借款者找到适合自己的贷款方式。固定利率抵押贷款比浮动利率抵押贷款更显得复杂，因为固定利率抵押贷款利率在合同期固定后就不能变动，其面临的风险会随着贷款期限的延长而不断增大：市场利率的上升会造成银行利息收入的损失，市场利率的降低有可能使借款人发生提前还款行为，房价波动有可能引发借款人的违约行为等。

在经济高速发展的今天，我国商业银行正逐步由分业经营向混业经营的发展模式过渡，中间业务发展十分迅速。然而我国商业银行的主要业务仍然是存贷款业务，存贷利差在我国商业银行利润中占据主要地位。随着我国住房抵押贷款市场的不断完善，住房抵押贷款业务逐渐成为银行贷款中的优质业务。借款人的提前还款将使得该笔优质业务提前中断，这样会给以盈利为目的商业银行带来许多不利影响。

因此，在对固定利率住房抵押贷款进行合理定价时，必须充分考虑借款人的提前还款行为：一方面，当市场利率上升时，因原贷款合同利率低于市场利率，借款人将选择维持原贷款合同；另一方面，当市场利率下降时，借款人会选择提前还款，然后通过再融资获得更低的市场利率。

本文主要分析隐含期权中的提前还款行为。由于浮动利率抵押贷款和固定利率抵押贷款中利率表现形式的不同，借款人相应的提前还款行为也有所不同。因此，我们在分析固定利率抵押贷款借款人提前还款的隐含期权观点时，应有别于浮动利率抵押贷款。

对于固定利率抵押贷款借款人来说，当市场利率r高于或等于原贷款合同利率k时，理性借款人不会选择提前还款，即不执行隐含期权，则有p=0；当市场利率r低于原贷款合同利率k时，理性借款人会考虑其融资成本问题，会提前偿还原贷款，然后再以较低的市场利率进行借款，即借款人执行隐含期权，则有p=k-r 。综上可以得出：

是关于r单调不增的分段线性函数。

对于商业银行来说，在发放固定利率住房抵押贷款时，相当于同时卖出执行价为k的看跌期权。

三、固定利率抵押贷款的期望收益与方差

（一）市场利率r的分布

在经济学中，几何布朗运动可以表示随时间推移而主动影响投资决策的随机变量，如项目价值，产出价格，投入成本等的动态变化过程。本文假设市场利率服从几何布朗运动。

设有一种由时间t开始到T结束的固定利率贷款，贷款的固定利率为k，无风险利率为 ，市场利率r服从几何布朗运动，则有：

， 分别是r变化率的均值和标准差，z是标准维纳过程。

为了简便，我们假设初始时刻t=0，下同。

通过求出 的概率密度，我们可以得出市场利率r的概率密度为：

求出市场利率r的概率密度后，我们再来看一下相关的几个积分，对正数 有以下积分结果：

其中， 是标准正态分布函数，且

（二）有隐含期权的贷款价值

首先，我们对市场提出一些假设：

1. 银行是市场上唯一的融资途径；

2. 市场一般无摩擦，再融资可在无成本，或者较低成本的条件下进行；

3. 固定利率贷款借款人是理性的，一旦市场利率低于合同借款利率，借款将执行隐含期权；

4. 贷款本息期末一次性偿付，不考虑分期偿还；

5. 市场无分割，市场上所有的投融资交易是连续进行的。

由隐含期权理论可知，当市场利率小于或等于贷款合同利率时，借款人提前还款，再从市场按较低利率借款。T时刻，银行关于这笔贷款的收益（借款人成本）为：当市场利率r小于贷款合同利率k时，收益为市场利率r；当市场利率r大于贷款合同利率k时，收益为贷款合同利率k，即有：

贷款收益表示如下：

图1：贷款收益图

结合前述隐含期权，则有：

对于商业银行来说，在发放固定利率住房抵押贷款时，相当于同时卖出执行价为k的看跌期权。有隐含期权的银行贷款价值等于无隐含期权贷款价值与该看跌期权价值之差。

（三）固定利率抵押贷款的期望收益与方差

借款人提前还款行为给我国商业银行资产负债管理带来了不确定性，其中主要是因为它增加了银行的成本，加大了银行的风险。因此，我们从这一中心思想出发，考虑银行的预期收益及风险，分别用贷款期望E（R）和方差 表示。

1. 固定利率抵押贷款的期望收益。对于隐含期权的固定利率抵押贷款，借款人先提前偿还贷款，再从市场按较低利率r借款。由前文可知，R等价于持单位收益为k的资产+卖出欧式看跌期权。T时刻，银行关于这笔贷款的期望收益E（R）（借款人期望成本）为：

因此，贷款的期望收益可以分解为k和看跌期权的期望。对于看跌期权的期望，我们可以从其分段表达式中得到：

由此可以得到：

其中，

2. 固定利率抵押贷款的方差。同理，根据看跌期权的分段表达式，对看跌期权求方差，可得：

由此可以得到：

其中，

四、单位风险收益最大化模型及其求解

商业银行在制定固定利率抵押贷款利率时，应充分权衡其风险与收益：一方面，利率如果定得较低，由此引发的提前还款风险会相对较小，但银行贷款收益也相应减少，这对于银行收入的实现以及银行规模的扩大是不利的；另一方面，利率如果定得较高，银行虽然能实现较高收益，但借款人的提前还款行为会因此增多，对于银行的风险管理会造成极大影响，因此，我们应结合期望收益对方差进行分析。

为了计算的可行性和便利性，本文引入风险收益指标——方差期望比 。具体表示为： ，其中 、 分别为贷款收益R的期望和方差。

由前文可知，银行关于固定利率贷款收益的方差 表示如下：

固定利率贷款的期望收益表示如下：

则有：

由于单位风险收益 ，通过计算最小 ，保证单位风险收益 最大化。

令银行贷款方差期望与 关于k的导数的比值等于0，即 ，得：

由上文可知， 都是关于k的函数，则有

因此，我们将银行贷款期望收益关于k的导数表示如下：

将银行贷款方差关于k的导数表示如下：

又 ，， ，将其代入上式中，并将等式右边按照进行合并整理，可得：

继续化简，可得：

将其代入 ，化简得：

由于 ， ，而 ，，可得 ，则有：

将上式整理如下：

上述方程是一个关于k的一元二次方程，则：

显然， ，则可解出关于k的方程如下：

由于k>0才有经济意义，则有：

通过对 求二阶偏导，化简可得

由于二阶偏导大于0，则等式在 处取得最小值，即：

上述 为银行贷款方差期望比最小的贷款利率，即银行单位风险收益最大的贷款利率。

对比现阶段基于利率风险补偿机制及基于违约期权的固定利率住房抵押贷款定价原理来说，本文单位风险收益最大化模型具有一定的优势：一方面，基于利率风险补偿机制的定价原理是建立在固定利率水平与同期限浮动利率水平之间线性关系基础之上，由于我国固定利率住房抵押贷款市场还不充分，固定利率数据有限，对于利用较少历史数据形成的固定利率回归模型，还有待时间的检验，而且模型并未进一步计算相应的参数值；在基于违约期权的固定利率住房抵押贷款定价原理中，提前还款率起着重要作用，是贷款现金流分析的基础，但由于国内外住房抵押贷款业务之间及借款人行为之间的差异，使得提前还款率研究照搬国外不是很合理。因此，引用及深入研究本文模型具有较强的适用性。

在此基础上，笔者对S银行2008年6月执行的10年期固定利率贷款利率6.93%进行检验。S银行具备先进的定价水平及风险管理能力，固定利率住房贷款的利率水平在银行业同类产品中具有较大的优势，其他商业银行在制定其固定利率水平时，也参考S银行同期限固定利率房贷利率水平。受2008年国际金融危机影响，为了刺激经济复苏，我国从2008年9月16日至2008年底，连续5次下调人民币贷款基准利率，降息政策给借款人提前还款提供了可能。因此，结合2008年9月16日至2008年底的1年期上海同业拆借利率（Shibor）为市场利率进行研究，验证得出模型中的一阶导数不为0，从而得出该固贷利率并不能满足方差期望比最小，即单位风险收益最大。

但由于上述模型计算的复杂性，我们无法得出最优贷款利率水平，必须利用计算机软件进行编程求解，这也是后续研究的方向。

五、总结

结合我国固定利率住房抵押贷款定价不合理的现状，本文研究确定了单位风险收益最大化模型。建模思想如下：首先，将借款人提前还款行为看作是一个隐含期权，对商业银行来说，在发放固定利率住房抵押贷款时，相当于同时卖出执行价为原贷款合同利率的看跌期权；其次，利用市场利率服从几何布朗运动的假设，得出固定利率住房抵押贷款的期望收益与风险；最后，构建一个变量指标——方差期望比，运用最优化思想及数学推导，得出模型满足单位风险收益最大化的最优贷款利率，为商业银行贷款定价提供理论和技术参考。

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（特约编辑 齐稚平；校对 GX）