巧变形,快求解

程军

“三角形的内角和等于１８０°”，“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”，掌握三角形外角及内角和公式是解决有关三角形问题的关键，而要快捷且正确地解答三角形中有关角的求解与证明，就必须熟练地进行有关变形. 现举例如下.

例１ △ＡＢＣ中，若∠Ａ － ２∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ ０°，则∠Ｂ的度数是 （ ）.

Ａ． ３０° Ｂ． ４５° Ｃ． ６０° Ｄ． ７５°

解 在△ＡＢＣ中，有∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＝ １８０°，可适当变形为∠Ａ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０° － ∠Ｂ，而条件∠Ａ － ２∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ ０°，也可变形为∠Ａ ＋ ∠Ｃ ＝ ２∠Ｂ，所以可知１８０° － ∠Ｂ ＝ ２∠Ｂ，解此方程即可得到∠Ｂ ＝ ６０°.

例２ 如图1，△ＡＢＣ中，点Ｄ为边ＡＣ上的一点，∠ＡＢＤ ＝ ∠ＡＤＢ，求证：∠DBC = .

解 在△ＡＢＣ中，有∠Ａ ＋ ∠ＡＢＣ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°……①，

在△ＡＢＤ中，有∠Ａ ＋ ∠ＡＢＤ ＋ ∠ＡＤＢ ＝ １８０°……②，

已知∠ＡＢＤ ＝ ∠ＡＤＢ，

可将②式变形为∠Ａ ＋ ２∠ＡＤＢ ＝ １８０°……③，

又因为∠ＡＤＢ 是△ＢＣＤ的一个外角，

所以∠ＡＤＢ ＝ ∠Ｃ ＋ ∠ＤＢＣ ，代入③式，②式最终变形为∠Ａ ＋ ２（∠Ｃ ＋ ∠ＤＢＣ） ＝ １８０°……④，

用④ － ①，可得２（∠Ｃ ＋ ∠ＤＢＣ） － ∠ＡＢＣ － ∠Ｃ ＝ ０°，

即２（∠Ｃ ＋ ∠ＤＢＣ） ＝ ∠ＡＢＣ ＋ ∠Ｃ，整理后，即得

∠DBC = .

例3 已知△ＡＢＣ，（1）如图2，若Ｐ点是∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ的角平分线的交点，则∠P = 90° + ∠A；

（2）如图2，若Ｐ点是∠ＡＢＣ和外角∠ＡＣＥ的角平分线的交点，则∠Ｐ ＝ ９０° － ∠Ａ；

（3）如图3，若Ｐ点是外角∠ＣＢＦ和∠ＢＣＥ的角平分线的交点，则∠P = 90° - ∠A.上述说法中正确的个数是 （ ）.

Ａ． ０Ｂ． １Ｃ． ２Ｄ． ３

解 （1）在△ＢＰＣ中，∠Ｐ ＝ １８０° － ∠ＰＢＣ － ∠ＰＣＢ（三角形内角和），而∠PBC = ∠ABC，∠PCB = ∠ＡＣＢ，

所以∠P = 180° - （∠ABC + ∠ＡＣＢ），

而在△ABC中，有∠A + ∠ABC+∠ACB = 180°，

适当变形为∠A＋ ∠ＡＢＣ ＋ ∠AＣＢ ＝ ９０°，

得到∠ABC ＋ ∠ＡＣB = 90° - ∠A，

所以∠P = 180° - （∠ＡBＣ + ∠ACB） =

18０° － （９０° － ∠Ａ） ＝ ９０° ＋ ∠Ａ．

（２）在ＡＢＰＣ构成的“８字型”中，存在这样的关系：∠Ａ ＋ ∠ＡＢＰ ＝ ∠Ｐ ＋ ∠ＰＣＡ……①，

∠ABP = ∠ABC（BP为角平分线）……②，

∠PCA = ∠ACE（PC为角平分线），

而∠ACE = ∠A + ∠ABC（∠ＡＣＥ为外角），

所以∠ＰＣＡ ＝ （∠Ａ ＋ ∠ＡＢＣ）……③，

将②和③代入①，即得

∠A + ∠ABC = ∠P + （∠A +∠ABC），

整理，得∠P = ∠A.

（3）在△ＢＰＣ中，由三角形内角和知，

∠Ｐ ＋ ∠ＰＢＣ ＋ ∠ＰＣＢ ＝ １８０°……①，

由（2）的解题过程知，

∠ＣＢＦ ＝ ∠Ａ ＋ ∠ＡＣＢ（∠ＣＢＦ为外角），

∠BCE = ∠A+∠ABC（∠BCE为外角），

∠ＰＢＣ ＝ ∠ＣＢＦ（ＢＰ为角平分线） ＝

（∠Ａ ＋ ∠ＡＣＢ）……②,

∠PCB = ∠BCE（CP为角平分线） =

（∠A + ∠ＡＢＣ）……③，

将②和③代入①，即得

∠P + （∠A + ∠ＡＣB） + （∠A + ∠ＡBC） = 180°，

去括号，得

∠P + ∠A + ∠ＡＣB + ∠A + ∠ＡBC = 180°……④，

而在△ABC中，有∠Ａ + ∠ＡBC + ∠ＡCB = 180°，

所以∠Ａ + ∠ＡＣB + ∠ＡBC = 90°，

将其代入④式，得

∠P + ∠Ａ + 90° = 180°，

整理，得∠P = 90° -∠Ａ.

因此答案为Ｃ．

熟练掌握三角形外角及内角和公式的变形可以使很多问题得到更加简便的解决，而要熟练掌握就要求同学们多加练习和总结，学会举一反三，融会贯通，这样方能在解决新问题时游刃有余，思路清晰.