复合函数求导方法教学教法探讨

【摘要】本文就复合函数求导的教学教法进行探讨，首先通过复习基本初等函数求导公式和复合函数的概念，然后通过一个引例启发思维，引入复合函数求导法则，接着对该法则进行证明和举例运用，并总结复合函数求导法则的关键是：分清复合函数的函数层次结构，由外向内逐层求导。

【关键词】复合函数 求导方法 教学教法

【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）07-0099-01

复合函数求导方法是一种重要的函数求导方法，也是微积分学里的重要内容，它是继学习了导数的四则运算和一些基本的初等函数的导数公式后学习的重点，也是学习后续的微分和积分的基础。复合函数的求导方法既是导数学习的重点，也是学习难点。本文就结合多年的教学经验，对复合函数的求导方法的教学教法进行探讨。

在进行新课学习之前，可以先对复合函数求导方法中需要用到的两个知识点加以复习，第一点是基本初等函数的导数公式，第二点是复合函数的概念，即设y=f(u)，其中，u=φ(x)，且φ(x)的值全部或部分落在f(u)的定义域内，则称y=f[φ(x)]为x的复合函数，而u为中间变量，例如y=(2x+1)2，y=sinx2都是复合函数。初等函数是高等数学的研究对象，它由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成，且可用一个解析式表示的函数。因此，复合函数的求导法则是求初等函数的导数不可缺少的工具。

在具体的教学过程中，可以通过一个具体的引例，让学生对复合函数求导法则有一个初步的、直观的了解。

引例 求函数y=(2x+3)2的导数。

方法一y′x=[(2x+3)2]′=(4x2+12x+9)′=8x+12

方法二将复合函数y=(2x+3)2看作由基本初等函数y=u2和函数u=2x+3复合而成，分别求出其对应函数的导数，即y′u=(u2)′=2u， u′x=(2x+3)′=2，将两个导数相乘，即y′u·u′x=2u·2=2(2x+3)·2=8x+12，从而得到y′x=y′u·u′x的结论，该结论并不是偶然，对于一般的复合函数而言，该结论也成立，然后就引入复合函数的求导法则，加以证明和运用。

1.复合函数的求导法则

如果函数u=φ(x)在点x处可导，而函数y=f(u)在对应点u=φ(x)处也可导，则复合函数y=f[φ(x)]在点x处可导，且有y′x=y′u ·u′x或f′x[φ(x)]=f′(u)φ′(x)。

证明：设自变量x有增量△x，相应的变量u有增量△u，从而变量y有增量△y，由于u=φ(x)可导，所以△x→0时，△u→0，于是，当△u≠0时，

■■=■■·■=■■·■■=■■·■■=y′u·u′x，即y′x=y′u·u′x （当△u=0时，也成立），该公式表明，复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。

2.复合函数求导方法基本步骤

根据公式y′x=y′u·u′x，复合函数的求导方法的基本步骤可以分为：（1）将复合函数分解为若干个简单函数；（2）对简单函数进行求导；（3）将简单函数的求导结果相乘；（4）将中间变量函数回代、整理，即“分解——求导——相乘——回代”。

3.复合函数求导方法举例

例1 求函数y=(3x+1)6的导数。

解： 设y=u6，u=3x+1，则y′u=(u6)′=6u5， u′x=(3x+1)′=3，所以y′x=y′u·u′x=(u6)′·(3x+1)′=6u5·3=6(3x+1)5·3=18(3x+1)5.

例2 求函数y=cosex的导数。

解： 设y=cosu，u=ex，则y′u=(cosu)′=-sinu，u′x=(ex)′=ex，所以y′x=y′u·u′x=(cosu)′·(ex)′=-sinu·ex=-sinex·ex=-exsinex.

从以上例子可以看出，求复合函数的导数关键在于能够把复合函数分解为若干简单的函数。在熟练以后，中间可以不必写出来，而直接写出函数对于中间变量求导的结果，即分清复合函数的函数层次结构，由外向内逐层求导。

例3 求函数y=sinx3的导数。

解： 首先分清复合函数y=sinx3的函数层次结构，该函数由外向内的函数层次依次为sin()，()3，其中()内为中间变量函数，所以由外向内逐层求导可得y′=(sinx3)′=cosx3·(x3)′=cosx3·3x2=3x2cosx3。

例4 求函数y=ln tan■的导数。

解： 首先分清复合函数y=ln tan■的函数层次结构，该函数由外向内的函数层次依次为ln()，tan()，■，其中()内为中间变量函数，所以由外向内逐层求导可得

y′=(ln tan■)′=■·(tan■)′=■·sex2■·(■)′=■·sex2■·■=■·■·■=■=■.

从以上例子可以看出，复合函数求导方法的关键是分清复合函数的函数层次结构，由外向内逐层求导。最后需要说明的是，当一个初等函数的构成是既有四则运算，又有复合函数，要求出它的导数就需要综合运用到四则运算求导法则和复合函数求导法则进行求导。

例5 求函数y=exsin(2x+1)2的导数。

解： 首先分清函数y=exsin(2x+1)2的层次结构，该函数由函数ex和复合函数sin(2x+1)2相乘而成，因此求该函数的导数，应先使用乘积运算的求导法则，在求复合函数sin(2x+1)2的时候又利用复合函数求导法则进行求导，所以有

y′=[exsin(2x+1)2]′=(ex)·sin(2x+1)2+ex·[sin(2x+1)2]′

=exsin(2x+1)2+ex·cos(2x+1)2·[(2x+1)2]′

=exsin(2x+1)2+ex·cos(2x+1)2·2(2x+1)·(2x+1)′

=exsin(2x+1)2+ex·cos(2x+1)2·2(2x+1)·2

=exsin(2x+1)2+4ex(2x+1)cos(2x+1)2

参考文献：

[1]李海英.浅谈复合函数的求导方法.数学学习与研究.2011（23）.

[2]盛光进.高等数学[M].长沙.湖南教育出版社.2007.

作者简介：

农建诚，男，出生于1979年3月，广西德保人，大学本科学历，助教，现任教于广西现代职业技术学院，主要研究方向：数学教育及应用数学。