复合函数定义探析

冯所伟

本文讨论复合函数定义中容易引起误解之处，并从数学运算的角度给出复合函数的一个更易于理解的定义.

关于复合函数，很多教科书给的都是类似如下定义：

设函数y=f(u)的定义域是Df，函数u=g(x)的值域是Zg，若Zg∩Df不为空集，则将y=f(g(x))称为由函数y=f(u)和u=g(x)构成的复合函数.y=f(u)称为外层函数，u=g(x)称为内层函数，也称为中间变量.

对于上面这个定义，不少人通过学习之后，都认为y=f(u)与y=f(g(x))是相同的函数，因为它们都用y来表示.

那么，这两个函数到底是不是相同的呢？

首先，要判断两个函数是否相同，主要是考虑两个函数的定义域和对应法则是否都相同.看下面的例子，设f(u)=u2，g(x)=x+lnx，则得复合函数为f(g(x))=(x+lnx)2.第一，很显然f(u)=u2的定义域是R，而f(g(x))=(x+lnx)2的定义域是R+，所以这两个函数的定义域并不相同.第二，f(u)=u2的对应法则是对自变量进行平方，而f(g(x))=(x+lnx)2的对应法则是对自变量求自然对数后再加上自变量本身，最后才平方，所以这两个函数的对应法则也是不相同的.

其次，不妨假设f(u)与f(g(x))相同，现有以下三个函数f(u)=u2，g1(x)=x+lnx与g2(x)=lnx，那么f(u)=u2与g1(x)=x+lnx复合可得f(g1(x))=(x+lnx)2，f(u)=u2与g2(x)=lnx复合可得f(g2(x))=(lnx)2.按照相同的假设，这里得到的两个复合函数都等于f(u)，即f(g1(x))=(x+lnx)2=f(u)=f(g2(x))=(lnx)2，这显然是错误的.

最后，函数的复合是一种数学运算，而数学运算指的是“依照数学法则求出算式结果的过程”(《现代汉语实用词典》南方出版社).可以这么理解，数学运算是对已知量实施了某些动作，产生新的量的过程.复合函数就是几个已知函数进行运算后得到的新函数，这个新函数怎么会在任何情况下都等于前面的其中一个已知函数呢？如果都等的话，这种运算便形同虚设了.所以，如果认为函数f(u)与f(g(x))是相等的，就如同是“当2+3=5时”，认为2和5是相等的一样.

由上述几点可知，函数f(u)与f(g(x))是不相同的函数，既然是不相同的，在一个命题里面，就不应该用相同的符号来表示，要不就会造成误解，这正是不少人认为它们是相同的最直接的原因.另外，对于复合函数的定义，再从数学运算这一数学基本概念方面进一步强调其含义，就会更加清晰一些.因此，下面给出一个更易于理解的定义：

定义（复合函数）已知函数f(u)和g(x)，把g(x)代入f(u)得到f(g(x))的过程（代入指把u都换成g(x)），称为函数的复合运算.若f(g(x))存在，则称f(g(x))是由f(u)和g(x)复合而成的复合函数，此时称f(u)为外层函数，g(x)为内层函数，称u为中间变量，记作u=g(x).若f(g(x))不存在，则称f(u)和g(x)进行复合运算时没有意义.

几点说明

（1）f(g(x))不存在是指自变量x的取值范围是空集，即定义域为空；

（2）求函数时除了要写出函数的对应法则（常表现为表达式），还要写出函数的定义域，求复合函数也应如此；

（3）函数的复合运算可以由多个函数按一定的先后顺序进行，如由f(u)，g(v)，h(x)按顺序进行复合运算可得f(g(h(x))).

几个求复合函数的例子：

例1已知函数f(u)=log2u，g(x)=x2+1，则f(u)和g(x)进行复合运算应得f(g(x))=log2(x2+1)，其定义域为R=(-∞，+∞)非空，所以复合函数f(g(x))=log2(x2+1)存在.

例2已知函数f(u)=log2u，g(x)=x2-x，则f(u)和g(x)进行复合运算应得f(g(x))=log2(x2-x)，其定义域D=(-∞，0)∪(1，+∞)非空，所以复合函数f(g(x))=log2(x2-x)存在.

例3已知函数f(u)=log2u，g(x)=-x2-1，则f(u)和g(x)进行复合运算应得f(g(x))=log2(-x2-1)，但此函数定义域D=粒所以f(g(x))不存在，即f(u)和g(x)进行复合运算时没有意义.

【参考文献】

［1］华东师范大学数学系.数学分析.北京：高等教育出版社.

［2］周誓达.微积分.北京：中国人民大学出版社.

［3］肖林元.函数的定义域会空吗.数学教学，1996（1）.