构造思维在“最小公倍数”的教学中的应用

摘要：在最小公倍数的教学中，不仅要让学生理解最小公倍数的概念，学会最小公倍数的求法，关键的是要让学生能用所学的知识去解决相关的实际问题。相关的实际问题都会转移到“构造一个与最小公倍数有一定联系的数”的问题上来，不失时机地引导学生利用构造性思维，将是解决这些问题的关键.

关键词：构造思维；最小公倍数；教学；应用

在最小公倍数的教学中，不仅要让学生理解最小公倍数的概念，学会最小公倍数的求法，关键的是要让学生能用所学的知识去解决相关的实际问题。在相关问题的解决中，构造思维发挥着极其重要的作用。

有一道关于最小公倍数的经典趣题，其大意是这样：相传有一位阿拉伯商人，临终前立下遗嘱，要把他一生挣下的十七匹马分给他的三个儿子。三个儿子在他们的父亲去世后分遗产时却犯了愁，遗嘱中规定：大儿子分得的马为总数的1/2，二儿子分得的马为总数的1/3，小儿子分得的马为总数的1/9，但是不允许把马杀死来分。三个儿子怎么也分不出整数匹马来，后来一位智者帮他们分好了。智者是这样做的：牵来自己的1匹马，加上商人留下的17匹总共就是18匹，其中大儿子分得的马为总数的1/2即9匹，二儿子分得的马为总数的1/3即6匹，小儿子分得的马为总数的1/9即3匹，最后还剩1匹马，智者牵回自己的那匹马，就这样巧妙地把马分完了。

对此问题的解决，学生会有这样的疑惑：阿拉伯商人的三个儿子实际分到的都比遗嘱中规定的似乎多了一点点，即大儿子多分了9/17-1/2=1/34，二儿子多分了6/17-1/3=1/54，小儿子多分了2/17-1/9=1/153，但智者最后牵走了自己的马，马的总数并没有增加，这是哪儿多出来的呢？学生可能一是不会明白。此时可以引导学生从另一个角度去看：这位阿拉伯商人在遗嘱中总共处理了自己遗产的1/2、1/3和1/9，即1/2+1/3+1/9=17/18，也就是说阿拉伯商人还有1/18的财产未处理完，他们多分到的其实就是这未处理完的财产的1/18，智者构造了一个能同时被2、6和9整除的数18。

在最小公倍数的教学中，智者的这种构造思维模式是很有价值的。在练习中，可以通过一些题目设计来培养学生的构造思维。下面看看一些造思维的运用举例。

* 一箱苹果有若干个，如果平均分装成若干袋，每袋4个，剩下3个，每袋5个，剩下3个，每袋6个，还是剩下3个。问：这箱苹果至少有多少个？

解：通过观察可知，如果拿掉3个，剩下的苹果每袋装4个，每袋装5个，每袋装6个都恰好装完，即剩下的苹果数恰好能同时被4、5、6整除，于是问题转换成“求4、5、6的最小公倍数加上3是多少”。显然，4、5、6的最小公倍数为60，加上3等于63。即这箱苹果至少有63个。

* 一个数除以7余数是3，除以8余数是2，这个数最小是多少？

解：设这个数为X，则有，

X÷7=？…3

X÷8=？…2

通过观察联想7+3=10，8+2=10观察可知：这个数除以7，如果商比实际的商少1的话余数是10，同理，除以8，上比实际小１时，余数也是10。即这个数除以8余10，除以8也余10。于是问题转换成：求7和8的最小公倍数加上10是多少？7和8的最小公倍数为56，加上10等于66。显然，这个数最小是66。

* 一包糖果有若干颗，为了方便销售，需要分装成若干盒，如果每盒8颗，最后一盒差4颗，如果每盒9颗，最后一盒还是差4颗。问：这包糖果至少有多少颗？

解析：通过观察可以看出，如果拿4颗添上的话，不管每一盒装8颗还是9颗，都恰好装完。也就是说这包糖果添上4颗后就能被8或9整除，即糖果总颗数加上4就是8和9的公倍数。至少有多少颗就是8和9的最小公倍数减去4，即72减去4等于68。

* 一个数除以6余4，除以5余3，这个数最小是多少？

解：设这个数为X，则有，

X÷6=？…4

X÷5=？…3

通过观察联想4+2=6，3+2=5观察可知：这个数如果加上2 以后，恰好能同时被5和6整除，于是问题转换成：求5和6的最小公倍数减去2是多少？显然， 5和6的最小公倍数为30，减去2等于28。即这个数最小是28。

在进行最小公倍数的教学时，相关的问题都会转移到“构造一个与最小公倍数有一定联系的数”的问题上来。因此，在进行最小公倍数的教学时，不失时机地引导学生利用构造性思维，将是解决这些问题的关键。

（作者简介：刘飞（1984.6-），女，贵州大方人，大方县牛场乡牛场小学一级教师，主要从事小学教育教学、研究与管理工作。）