一题多解求河宽

李广永

数学是一门美妙的学科,数学知识广泛应用于人们生活的方方面面,它在现实中的作用也是人人皆知的.在人们的日常生活中,许多问题都涉及初中数学基础知识,并且可以采用多种方法来解决.下面,就以测量河宽为例进行说明:

问题:如图1,一条河流,如何求河两岸A、B两点间的宽度?

图1

显然,如果河面较宽则无法直接测量,初中所学的一些解决图形问题的方法可以一用.

方法一:利用全等三角形.如图2,在B点所在的河岸选两点O、C,使C、O、B三点在同一直线上,且OC=OB,并在点C处作CM//AB,然后在CM边上找出D点,使D、O、A三点在同一直线上,这样利用“角角边”的判定定理得到两个全等三角形,只要量出CD的距离,就可得到河的宽度.

方法二:利用相似三角形.如图3,在AB所在的直线上适当取一点D(DB距离太大或太小难测量),另找C、E两点,使A、C、E三点在同一直线上,并且BC//DE.这样就得到两个相似三角形ABC和△ADE,从而得到AB/AD=AC/DE,AB/(AB+BD)=BC/DE,再分别量出线段BC、BD、DE的长,就可根据上式求出河宽.

方法三:利用三角函数求解.如图4,以假想存在的线段AB为一边,点B为直角顶点,作直角三角形ABC.这样,只需量出线段BC的长和∠ACB的度数,用计算器查出∠ACB的正切值,由tanC=AB/BC即可求出河宽AB.

图4 图5

方法四:利用函数图像求解.如图5分别过A、B两点作直线OA、OB,再以点O为坐标原点建立坐标系,使y轴平行于直线AB,直线AB交x轴于D点(可得到A、B两点的横坐标).然后,分别在直线OA、OB上各取一点M,N,并找出两点的坐标,根据y=kx求出两直线的解析式,再将A点横坐标分别代入两解析式后,就得到A、B两点的纵坐标,两纵坐标差的绝对值就是宽AB.

数学解题方法灵活多样,以上解法仅供参考.