再析等差数列的前N项和

武兴晖

摘要： 教材讨论了等差数列的前N项和（后称部分和）的两种形式，又进行了简要的拓展.本文从另一角度着眼列出另一种形式，通过比较分析讨论它们在应用上的差异，为选取最优解法提供参考.

关键词： 部分和首尾式首差式一般式中位式

等差数列的部分和是高中数学的重要内容，也是后续学习的基础知识.我们在教材的基础上进行归纳，提出等差数列部分和的四种表达形式并对其进行命名，通过理论分析和实例解答，更清晰地认识等差数列部分和的本质特点，更灵活巧妙地处理有关问题.

一、提出

等差数列的特点在于所有相邻项等距，教材通过倒序相加法得到公式S■=（a■+a■）n/2（1），称之为首尾式.我们又把数列通项公式代入首尾式，整理得S■=na■+■n（n-1）d（2），称之为首差式.[1]接着，我们把（2）整理成关于n的二次式：S■=An■+Bn（其中A=■d，B=a■-■d）（3），称之为一般式.

教材主要用首末项或首项公差来表示部分和，在教研中，我们试图用中间项来考查它.由于部分和的项数有奇数和偶数之分，我们分开考虑：当n为奇数时，（a■+a■）/2就是数列中间项，代入（1），得S■=a■·n=a■·n；当n为偶数时，中间有两项，由等差数列性质知：（a■+a■）/2等于两中间项的平均数，同样可得S■=a■·n=■（a■+a■）·n.现在我们把情况统一起来：当N为奇数时，中间项即等差数列中位数；当N为偶数时，中间两项平均数即数列中位数，此数不是数列中的项，我们理解为“虚项”.这样，公式可统一为S■=a■·n（4），称之为中位式.在使用时出现虚项我们求前后项算术平均数即可.

我们把首尾式、首差式、一般式和中位式通称为等差数列部分和的四种表达形式.它们分别从不同角度刻画了等差数列部分和的特征.

二、比较

虽然几种形式可以互相转化，但都有其自身特点，在应用上也各有千秋.

从刻画的角度看，（1）侧重于首尾项，即首尾项平均数乘以项数；（2）侧重于项间距即公差，形式较为复杂；（3）侧重于S■和项数n的函数关系；（4）表示为数列中位数与项数的积，简洁，明了.

这些特点决定了它们在应用上的不同效果，在一般的计算中（1）、（2）应用较多，但有较多项数条件时用（1）方便，出现公差时可考虑（2）；（3）反映的是函数关系，在讨论最值等问题时用着方便，由于（2）反应数列基本元素的关系，一般还要与（2）结合使用，当然有时也用不等式处理；（4）形式很简洁，若出现判断中间项关系时，可能有特别的效果.

三、应用

鉴于上面的分析，我们从一些典型例题来讨论它们应用上的差异.这里主要突出（3）和（4）在理解与解题上的特殊效果.

例1：讨论：（1）若等差数列项数2n+1（n∈N■），则S■=（2n+1）a■，且S■-S■=a■，S■/S■=（n+1）/n.（2）若等差数列项数2n（n∈N■），则S■-S■=nd，且S■/S■=a■/a■.[2]

解析：（1）项数特点：1，2，3… n（前n项），n+1，（后n项）n+2，…2n+1.

令：奇列（n+1项）：a■+a■+a■+…+a■=S■

偶列（n项）：a■+a■+a■+…+a■=S■

由公式（4）得：

当n为偶数时，S■=（n+1）a■×0.5=（n+1）a■，

S■=na■×0.5=■（a■+a■）·n=na■（偶列中虚项，却是原数列的项）.

当n为奇数时，S■=■（a■+a■）（n+1）=（n+1）a■（奇列中虚项，却是原数列的项），S■=na■.

∴S■=S■+S■=（2n+1）a■，且S■-S■=a■，S■/S■=（n+1）/n.

（2）项数特点：1，2，3… n（前后各n项），n+1，n+2，…2n.

令：奇列（n项）：a■+a■+a■+…+a■=S■

偶列（n项）：a■+a■+a■+…+a■=S■

由公式（4）得：

当n为偶数时，S■=na■×0.5=■（a■+a■）n=na■（奇列中虚项，却是原数列的项）

S■=na■×0.5=■（a■+a■）n=na■（偶列中虚项，却是原数列的项）

当n为奇数时，S■=a■×0.5×n=na■

S■=na■×0.5=na■

∴S■-S■=nd，且S■/S■=a■/a■.

说明：根据项数的特点，我们考虑用中间项来表示部分和，而当奇列偶列项数是偶数时，出现的虚项恰好是原数列中的项，所以条件中n的奇偶性对结果表达没影响，加深了我们对中间项与部分和关系的认识.当然用（1）也很好，我们可以从其他角度看看效果怎样.

例2：设{a■}是等差数列，且S■=m，S■=n，求：S■.[3]

解1：设S■=Ax■+Bx（x∈N■）

则Am■+Bm=n （1）

An■+Bn=m（2）

由（1）、（2），得A（m■-n■）+B（m-n）=n-m

∵m≠n，A（m+n）+B=-1

故A（m+n）■+B（m+n）=-（m+n）

即S■=-（m+n）

解2：不妨设m>n，有等差数列性质

s■-s■=a■+a■+…+a■+a■=n-m=■（m-n）（a■+a■）

∴a■+a■=a■+a■=2（n-m）/（m-n）=-2

∴S■=■（m+n）（a■+a■）=-（m+n）

说明：这里用一般式解可谓另辟行经，效果很好，解2结合数列性质和（1）也较好，其他方法应该是很繁，可以实践一下.

例3：已知两个等差数列{a■}，{b■}，它们的前n项和分别是S■，T■，若S■/T■=（7n+2）/（n+3），求a■/b■.

解1：等差数列部分和S■=An■+Bn=An（n+B/A），由已知，可令S■=（7n+2）kn，T■=（n+3）kn

∴a■=S■-S■=（7×2+2）k×5-（7×4+2）k×4=65k

b■=T■-T■=（5+3）k×5-（4+3）k×4=12k

∴a■/b■=65k/12k=65/12

解2：由等差数列部分和公式（4），得

a■/b■=a■×9/（b■×9）=S■/T■=（7×9+2）/（9+3）=65/12

说明：解1把条件还原为部分和一般式的形式，再用数列自身部分和与其项的关系代入求解；解2由中位式得解，因为中位式反映中位数项与部分和的关系，我们可把所求项当做部分和项数的中项，解法简洁而巧妙.其他方法则较复杂.

例4：设等差数列{a■}的前n项和为S■，已知a■=12，且S■>0，S■<0.（1）求公差范围；（2）问前几项和最大，并说明理由.

解1：（1）∵S■>0，S■<0

由等差数列部分和公式（4），得

a■×12=（a■+a■）/2×12>0

a■×13<0

∴a■+a■>0

a■<0

又∵a■=12∴a■=a■+3d=12+3d，a■=a■+4d=12+4d

∴（12+3d+12+4d）>0

12+4d<0

得-24/7

（2）由等差数列部分和公式（3），得：S■=An■+Bn，又a■=12

∴A=■d，B=a■-■d=a■-2d-■d=12-2.5d

即S■=■dn■+（12-2.5d）n

上式理解为二次函数，则对称轴n=2.5-12/d

∵-24/7

∴-1/3<1/d<-7/24

∴6<2.5-12/d<6.5

由于与对称轴最近的整数只有6，因此前6项的和最大.

说明：（1）问用公式（4），（2）问用公式（3），可见它们有着不同的特征，这里见证了应用上的不同效果.

通过以上几个例子，我们可以看到这四种表达形式自身的特点，在不同的问题中，表现出解法可行性和繁简程度的不同，实践中若能选择恰当的形式便可以达到特殊的解题效果.

参考文献：

[1]普通高中课程标准实验教科书数学必修5[M].人民教育出版社，2004.

[2]薛金星.高中总复习全解：数学[M].陕西人民教育出版社，2004（5）.

[3]姬翠萍.高中学习辅导与训练：高一数学[M].新世界出版社，2005（6）.

[4]周沛耕.怎样学好高中数学[M].科学出版社龙门书局，2006（1）.