常见带根式的函数最值的解法

钱健

【摘要】求函数最值的方法很多，特别是带根式的函数最值问题更要讲究解法，其中的关键是如何巧妙灵活地进行等价转化.

【关键词】根式函数;最值;等价转化

众所周知，求函数最值是高中数学中的一个重要内容，其中有一种题型值得我们注意，那就是带根式的函数最值问题，由于这种题型特殊的结构，所以我们在解题过程中要注意充分利用式子的特征，巧妙灵活地进行转化，将不熟悉的变成熟悉的，将抽象的变成具体的，化腐朽为神奇.本文就此作一点探讨，供大家参考.

1.单调性

例1 求函数f(x)=x+1+x-1的最小值.

解析 函数定义域为［1,+∞)，利用函数单调性易见函数在x=1时有最小值2.

2.分子有理化

例2 求函数f(x)=x+1-x-1的最大值.

解析 函数定义域为［1,+∞)，巧添分母1将原函数转化为f(x)=x+1-x-1[]1，然后再分子有理化得f(x)=(x+1-x-1)(x+1+x-1)[]x+1+x-1=2[]x+1+x-1,由于分母的最小值为2,所以f(x)的最大值为2.

3.换元法

例3 求函数f(x)=x-x-1的最小值.

解析 函数定义域为［1,+∞)，令t=x-1，则x=﹖2+1,f(t)=t2-t+1(t≥0)，易知最小值为3[]4.

例4 求函数f(x)=x+1-x2的最小值、最大值.

解析 函数定义域为［-1,1］，设x=玞osα,α∈［0,π］,

则y=玞osα+1-玞os2α，

化简得y=玞osα+玸inα=2玸inα+π玔]4,α∈［0,π］,

所以y┆玬in=-1,y┆玬ax=2.

4.平方法

例5 求函数f(x)=3-x+x-1的最大值.

解析 函数定义域为［1,3］，注意到式子的特征，将等号两边同时平方得y2=2+2(3-x)(x-1)=2+2-x2+4x-3,x∈［1,3］,设t=-x2+4x-3,x∈［1,3］,易知t┆玬ax=1,则y┆玬ax=2.

5.不等式法

例6 求函数f(x)=3-x+x-1的最大值.

解析 函数定义域为［1,3］，可以利用基本不等式a+b[]2≤a2+b2[]2得

3-x+x-1[]2≤(3-x)2+(x-1)2[]2=1，サ鼻医龅眡=2时取“=”，所以y┆玬ax=2.

例7 求函数f(x)=3-x+2x-2的最大值.

解析 函数定义域为［1,3］，利用柯西不等式(ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2)得

(3-x+2x-2)2≤［12+(2)2］［(3-x)2+(x-1)2］=6,所以y┆玬ax=6.

6.数形结合法

例8 求函数f(x)=x2-2x+5+x2-6x+25的最小值.

解析 原函数转化为f(x)=(x-1)2+(0-2)2+(x-3)2+(0-4)2,可以理解为直角坐标系中点P(x,0)到点A（1,2)与点P(x,0)到点B（3,4)的距离之和，即

y=﹟PA|+獆PB|,根据图像特点，求出点A关于x轴的对称点A′(1,-2)，则原函数的最小值为y┆玬in=|A′B|=(3-1)2+(4+2)2=210.

7.导数法

例9 求函数f(x)=x(x-3),x∈［0,2］的最小值.

解析 f′(x)=3(x-1)[]2x,y=f(x)在［1,2］上单调递增，在［0,1］上单调递减，y┆玬in=-2.

通过上述例题，容易看出解决此类问题的关键是等价转化，寻找最佳的方法.在教学中，要注意引导学生重视对基本方法的学习和掌握，学会运用简单的观点分析、处理、解决问题，提高学生的解题能力.