抓住本质特征 用好基本不等式

林清龙

摘要：本题要研究的是ab的取值范围，可以理解其为研究对象为“积的形式”，而已知条件中含有的不仅有ab，也有a+b，即既有“积的形式”，也有“和的形式”。

关键词：基本不等式；教学；特征

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）09-0139-02

在均值不等式a+b≥2■（a、b∈R+）的应用中，大多强调“一正二定三相等”，这指的是在用均值不等式时该注意的一些要求，本文就不进行过多研究。事实上，问题在于不知何时该用均值不等式解题，因此，笔者认为在学习均值不等式的时候应强调其本质特征：①a+b是两数“和的形式”；②是两数“积的形式”；③均值不等式给出的是两个数“和的形式”与“积的形式”存在着某一不等关系，即a+b≥2■（a、b∈R+）；④不等式两边是同次的。只有抓住其本质特征，才能在解题的过程中考虑到应用均值不等式。下面用几个实际例题的分析和解答，来谈谈均值不等式及其变式的应用。

一、均值不等式的应用

例1：已知a+b≥2■（a、b∈R+）。求ab的值范围。分析；本题要研究的是ab的取值范围，可以理解其为研究对象为“积的形式”，而已知条件中含有的不仅有ab，也有a+b，即既有“积的形式”，也有“和的形式”。于是，自然可以产生一种思路，即：利用均值不等式将“和的形式”转化为“积的形式”，这样，原先的等式就转变为只含“积的形式”的不等式了。则问题迎刃而解，得到解法如下：

解：∵a，b∈R+ ∴a+b≥2■

∴2=ab+a+b≥ab+■

∴ab+■-2=（■+2）（■-2）≤0

∴■∈［-2，1］ ∵a，b∈R+ ∴■∈（0，1］得。

类似地，也可以轻易解决变式：已知a＞0，b＞0且ab-a-b-1≥0，求a+b的最小值。

例2：求证：log23＞2log32。分析：本题选自于湘教版选修4-5第23页例3，书中的证明思路为：证明log33=log827＞log916=2log327，引入中间变量，笔者认为这个证法并不利于学生接受。在思考这道题时，较多情况下会应用分析法将问题转化为：lg23＞lg2lg4，到了这时发现lg2lg4是无法进一步进行运算的，但是考虑到对数是可以进行加法运算lgaM+logaN=loga（MN），因此，此时可以考虑利用均值不等式将lg2lg4转化成lg2+lg4，则易得证法如下：证明log23＞2log32?圳■＞■?圳lg23＞lg2lg4?圳lg3＞■ ∵■＜■=■＜■=lg3 ∴lg3＞■成立.

综上命题得证。类似地，也可以应用分析法轻易地解决变式：已知0＜a＜1，x2+y=0，求证：loga（ax+ay）≤loga2+■。

例3：设a3+b3=2，求证：a+b≤2。

本题在湘教版教材选修2-2第128页、选修4-5第22页中都是用反证法给予证明，但是笔者认为这道题用反证法来证明的思路并不是那么容易想到的。实际上，大家认真分析题目，该题要证的是a+b≤2，可以设法将已知条件a3+b3=2转化为与a+b有关的结论，则可得证法如下：

证明：令t=a+b，由■≤■得：ab≤■

∴2=a3+b3=（a+b）（a2+b2-ab）=（a+b）（（a+b）2-3ab）≥t（t2-■t2）

∴t3≤8?圯t≤2，则命题得证。

二、不等式组■≤■≤■≤■（a，b∈R+）的应用

上述不等式组可以由均值不等式轻易证得，但它们的应用是相当灵活而且常见的。实质上：■=■给出的是“a，b倒数和”的形式，a2+b2给出的是“a，b平方和”的形式，因此，自然在应用该公式时应该产生一个念头，即：a，b的“倒数和”、“积”、“和”、“平方和”之间存在着某一不等关系，解一道题一旦有了想法，就很容易得到解题思路了。

例4：已知a+b=1，a，b≥0，求证：a4+b4≥■。

分析：已知的是a+b，即“a，b和的形式”，要证的结论应与“a，b四次方和”有关的，因此考虑多次运用公式■≤■进行转化。

证明：∵a，b≥0 ∴a2+b2≥2ab

∴2（a2+b2）≥a2+b2+2ab=（a+b）2 ∴a2+b2≥■

∴a4+b4≥■≥■=■

∵a+b=1，∴a4+b4≥■。

例5：已知a，b∈R+，a+b=1，求证：（a+■）2+（b+■）2

≥■。

解决该题时，可容易证到：

左边=a2+■+2+b2+■+2≥2+2+2+2=8。而这样是无法完成解题任务，实质上，该证法的错误在于不等式两边的等号是取不到。实际上，由于已知a+b=1，我们可以考虑将（a+■）2+（b+■）2转化为a+■+b+■=1+■+■的范围，再应用“a，b倒数和”与“a，b的和”存在某一不等关系来解决问题，则得证法如下：

证法一：∵a，b∈R+，∴■+■≥■≥■=4

则由公式a2+b2≥■得：

左边≥■（a+b+■+■）2≥■（1+4）2=■。

当然应用均值不等式来证明该题还有一常见证法如下：

证法二：左=a2+b2+■+■+4≥2ab+■+4

=（2ab+■）+■+4

≥2■+■+4=■

综上：命题得证。很明显，两种证法相比较，证法一的思路来得更自然一些。由此可见，如果深入地研究了均值不等式及其变式的本质特征，则更易在解题的过程中寻找到解题的思路，希望笔者对该问题的理解能够给同学们提供帮助，甚至将该思想应用在选修4-5中对柯西不等式的应用理解也是很有帮助的。