一个猜想的微分法证明及推广
2012-04-20薛惠良汤炳兴
薛惠良,汤炳兴
(1.常熟市中学,江苏常熟 215500;2.常熟理工学院数学与统计学院,江苏常熟 215500)
一个猜想的微分法证明及推广
薛惠良1,汤炳兴2
(1.常熟市中学,江苏常熟 215500;2.常熟理工学院数学与统计学院,江苏常熟 215500)
利用排序不等式证明猜想(1)的轮换对称不等式(2);把所给出的命题建模为二元函数,使用二元函数极值的判定定理给出猜想的证明;同时把猜想中的指数从正整数k推广到了实数R+;当k=1时,对称式(2)就是著名的内斯比特不等式的推广.最后把猜想(1)推广到更一般的情形,得到命题③和④.
轮换对称;排序不等式;偏微分;极值定理;内斯比特不等式;推广
1 引言
《数学通报》2009年10月第1818号数学问题如下:
设a,b,c∈R+,试证:
文献[1]把1818号问题作了等价变形,并给出了命题:a,b,c∈R+,k∈N,k≥2
不等式(1)当k=2,3,4,6时成立,并猜想k对于任意不小于2的整数均成立.
2 主要结果
首先证明(1)的轮换对称式:a,b,c∈R+,k∈N,k≥2
成立.
其次用微分法证明当k>1,(k∈R)时(1)式成立,当0<k<1,(k∈R)时(1)式的不等号反向成立;再探究当k=1时(1)式不成立及(2)式成立的背景.
2.1 不等式(2)的证明
故命题②成立.
2.2.2 在A最值存在条件下,用初等方法探究A的最小值
设a,b,c∈R+,k∈N,k≥2,
样就有
的最小值为2t.
由(3)、(4)、(5)、(9)得
当且仅当a=b=c时等号成立.
2.3 探究当k=1时不等式(1)与(2)的成立与否
当k=1时不等式(2)显然成立,即a,b,c∈R+,则有
(10)式显然是内斯比特不等式.事实上,当a,b,c∈R+时,由柯西不等式得
故不等式(1)不能成立.
对于k元一次齐次式,我们有:若ai∈R+,i=1,2,⋅⋅⋅,k,k∈N,k≥2,则
不等式(11)是内斯比特不等式的推广.
2.4 不等式(1)的推广
命题③若ai∈R+,i=1,2,⋅⋅⋅n,k∈R,k>1,则有,
用命题②③的证明过程,容易得到命题④的证明.
[1]蔡祖才.数学问题1818的等价式推广[J].数学通报,2010(12):58.
[2]常庚哲,史济怀.数学分析教程[M].北京:高等教育出版社,2003.
Proof and Generalization of a Method of Differentiation Hypothesis
XUE Hui-liang1,TANG Bing-xing2
(1.Changshu Middle School,Changshu 215500,China; 2.School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)
Sorting algorithm and inequality is used to testify rotation symmetric inequality(2)of hypothesis(1);the propositions are utilized to model binary function,and the laws of two variable extreme value are used to prove the hypothesis.Meanwhile,the hypothesis spreads exponents from positive integer K to real number R+;When K=1, symmetric expression(2)is the spread of Nesbitt’s inequality.In the end,hypothesis(1)can be generalized to more common conditions,thus concluding proposition③and proposition④.
rotational symmetry;sorting algorithm and inequality;partial differential;laws of two variable extreme value;Nesbitt’s inequality;generalization
0172.1
A
1008-2794(2012)04-0041-05
2012-01-08
薛惠良(1957—),男,江苏常熟人,江苏省常熟市中学高级教师.