一类多叶解析函数的性质

2012-04-20徐能朱惠秋

常熟理工学院学报 2012年4期

关键词：子类江苏解析

徐能，朱惠秋

（1.常熟理工学院数学与统计学院，江苏常熟 215500；2.常熟市外国语初级中学，江苏常熟 215500）

一类多叶解析函数的性质

徐能1，朱惠秋2

（1.常熟理工学院数学与统计学院，江苏常熟 215500；2.常熟市外国语初级中学，江苏常熟 215500）

解析函数；p叶函数；星形函数；近于凸函数；从属

1 引言

设f(z),F(z)在单位开圆盘U={z:|z|＜1}内解析，我们称函数f(z)在U内从属于F(z)并记作f(z)≺F(z)(z∈U)，如果存在U内解析函数w(z)使|w(z)≤|z|且f(z)=F(w(z))(z∈U).又若F(z)在U内单叶，则f(z)≺F(z)(z∈U)当且仅当f(0)=F(0)，f(U)⊂F(U).

的解析函数类.若f(z)∈Ap,n满足

称f(z)在类kp,n中.熟知kp,n中每一函数是p叶近于凸的.若f(z)∈Ap,n满足

为避免重复，全文设

我们引进Ap,n的新子类Hp,n(A,B,α,λ)如下：

定义函数f(z)∈Ap,n称为在类Hp,n(A,B,α,λ)中，若f(z)满足

2 一些准确的界

容易知道（1.6）定义的函数h(z)可展开成

（2.3）和（2.4）中的界皆准确，有极值函数

证明由于（1.6）定义的解析函数h(z)在U内凸（单叶）的（见文献[11]）且满足h=(z∈U),故当|ξ|≤σ(ξ∈C;σ＜1)有

设f(z)∈Hp,n(A,B,α,λ),则按定义可知

类似地，从（2.2），（2.6）右端不等式与（2.8）可得到（2.4）.

对于（2.5）定义的函数f(z)，容易验证

结果皆准确.

证明当λ=1，从定理1证明中（2.9）得

由此立得（2.10）.类似的，从

可得（2.11）.而且所得估计皆准确，有极值函数

定理2设f(z)∈Hp,n(A,B,α,λ),则当z∈U有

结果皆准确.

证明设f(z)∈Hp,n(A,B,α,λ),因为

利用定理1中（2.3），从（2.17）产生

同理，利用定理1中（2.4）与（2.17）可得（2.16）.而且，（2.5）定义的函数表明（2.15）和（2.16）是准确的.

推论2设f(z)∈Hp,n(A,B,α,),则当z∈U有

结果皆准确.

证明设f(z)∈Hp,n(A,B,α),则从推论1证明中（2.12）产生

即（2.18）成立，类似地，利用（2.13）和（2.17）可得（2.19）.而且，（2.14）给出的函数f(z)表明所得结果（2.18）和（2.19）皆准确.

定理3设f(z)∈Hp,n(A,B,α,λ),AB≤1，则当z∈U有

结果是准确的.

证明已知

因为AB≤1，有1-ABσ2＞0，于是（2.21）产生

现在，对于z∈U与0≤u≤1，从（1.6），（2.2），（2.8）和（2.22）导致

此外，（2.20）中等号被（2.5）定义的函数f(z)在z=|z|到达.定理得证.

引理1[12]若

估计（2.24）是准确的.

证明注意h(z)=1+λ(A-B)z+…，函数

此即要证的估计（2.24）.

其次，考虑函数

我们看到f(z)∈Hp,n(A,B,α,λ)且系数估计（2.24）是准确的.

3 Hp,n(A,B,λ)的p叶近于凸性与p叶星形性条件

定理5Hp,n(A,B,λ)是kp,n的子类当且仅当

证明设f(z)∈Hp,n(A,B,λ)且条件（3.1）是满足的，则由推论1中（2.10）有

故f(z)∈kp,n.从而Hp,n(A,B,α)⊂kp,n.

另一方面，假设

最后给出Hp,n(A,B,α)⊂的充分条件.为此需要以下结果：

引理2（文献[13]，定理4（i））设内解析，g(z)≠a.若0＜|z0|＜1， Reg(zo)=min|z|≤|z0|Reg(z)，则

定理6设

则Hp,n(A,B,α)是的子类.

证明首先注意当B≥0时，不等式（3.7）显然产生不等式（3.8）.设f(z)∈Hp,n(A,β,α)则

由（3.7）和推论1中（2.10）得

从而（3.8）和推论2中（2.18）产生

因此，函数

下面要证Reg(z)＞0(z∈U).假设存在点zo(0＜|zo|＜1)使得

则应用引理2有

当α≥1，利用（3.9），（3.11），（3.12）和（3.16），从（3.14）推出

但（3.17）与（3.10）（在z=z0）不相容，从而必有

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Properties of a Class of Multivalent Analytic Functions

XU Neng1,ZHU Hui-qiu2
(1.School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China; 2.Changshu Foreign Language Junior Middle School,Changshu 215500,China)