相容次序矩阵的AOR方法的收敛性

罗 芳 ，王振芳

(山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009)

给定线性方程组

其中，A∈Rc×c为非奇异的实相容次序矩阵，其对角线上元素全不为零。

令A＝D－L－U，D为A的对角线元素构成的非奇异对角矩阵，L和U分别是严格下三角和严格上三角矩阵。

为A的Jacobi迭代矩阵。用AOR法求解(1)时，迭代矩阵为[1－2]：

其中，γ为松弛因子，ω为加速因子，ω∈R{0}。易知：

(1)当 γ＝ω 时，迭代矩阵记为 Lγ，γ，AOR 法即为 SOR法，有：

(2)当ω＝－1时，迭代矩阵记为：

可推得：

故 Lγ，ω为 Lγ，γ的外插迭代，也是 Lγ，1的外插迭代。

1 收敛性定理

设 A∈Cn×n为(1，1)相容次序矩阵，其对角线元素均不为零，μj为Jacobi迭代矩阵B的特征值，记我们分三种情况讨论AOR方法的收敛性。

1.1 当 ｜μj｜2＝α(常数)

定理 1[3]设 A∈Cn×n为(1，1)相容次序矩阵，其对角线元素均不为零，μj为Jacobi迭代矩阵B的复数特征值，且｜μj｜2＝α (常数)，则迭代矩阵 Lγ，1收敛的充分必要条件是：

对于 AOR 迭代矩阵 Lγ，ω的收敛范围，若 Lγ，1的特征值为：

则成立如下定理：

定理 2[3]设 A∈Cn×n为(1，1)相容次序矩阵，其对角线元素均不为零，μj为Jacobi迭代矩阵B的复数特征值，且｜μj｜2＝α (常数)，则 AOR 迭代矩阵 Lγ，ω收敛的一个充分条件是(γ，ω是实数)：

(1)ω满足

(2)γ满足：

1.2 当 μj=±iαj(αj≥0)，j＝1，2，…，n

定理 3[4－5]设 A∈Cn×n为(1，1)相容次序矩阵，其对角线元素均不为零，μj为Jacobi迭代矩阵B的复数特征值，满足 μj=±iαj(αj≥0)， j＝1，2，…，n，则AOR 迭代矩阵 Lγ，ω满足

(1)收敛范围为：

(2)收敛范围为：

其中，

NR和NI分别是根号下为非负和负的下标i的集合。

1.3 当 μj(j=1，2，…，n)均为实数

定理 4[2]设 A∈Cn×n为(1，1)相容次序矩阵，其对角线元素均不为零，Jacobi迭代矩阵B的特征值μj(j=1，2，…，n)均为实数，且 μ2j＜1(∀j)，则 AOR 迭代矩阵 Lγ，ω的收敛范围为：

在此范围外，Lγ，ω不收敛，此处

MR和NI分别是根号下为非负和负的下标i的集合。

2 最优因子

定理 5[4－5]在定理 3 条件下，若 Lγ，ω收敛范围为(1)，则最优参数：

相应的谱半径为：

若Lγ，ω收敛范围为 (2)，且若有 γ≤ω，此时最优参数：

相应的谱半径为：

定理 6[6]设 A∈Cn×n为(1，1)相容次序矩阵，其对角线元素均不为零，Jacobi迭代矩阵B的特征值μj(j=1，2，…，n)均为实数，且 μ2j＜1(∀j)，则 AOR 方法的最优因子γopt，ωopt如下：

3 数值例子

考虑线性方程组Ax＝b，其系数矩阵为：

对应的Jacobi矩阵的特征值为：

于是

采用SOR方法，

按定理6，

由此可见，在本例中，用AOR方法取得了较SOR方法好的收敛性。

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