一类梁方程的精确可控性

王红雁

（山西农业大学信息学院，山西太谷 030800）

在本文中主要讨论下列梁方程系统

其中L是梁的长度，上标y″，yx表示关于t，x求偏导数，R1表示实数集。

首先考虑（1）所对应的齐次系统

的一些性质，从而得到了两个系统在零时刻的状态空间之间的一个对应关系；最后从这映射的象解出其原象（即验证这一映射是满射），由此得到了系统（1）的精确可控性。

定义1 问题（1）是零精确可控的是指：给定T＞0，若对任意（y0，y1）∈H－1［0，L］×H－3［0，L］，存在一个相应的控制v∈L2（0，T），使得系统（1）的解满足：y（x，T）＝0，y′（x，T）＝0，x∈［0，T］。

定理 2 给定T ＞0，∃c＝c（T）＞0，使得对于（u0，u1）∈Z×Z问题（2）的解满足下列不等式：因此有一个唯一的连续线性映射

使得 L（u0，u1）＝uxx，∀（u0，u1）∈Z × Z0。引入线性映射：

可以重新写这个恒等式为下面的形式：

LS（u0，u1）＝〈（y′（S），－y（S）），（u（S）u′（S））〉X′，X

定义 3 如果（y，y′）∈（R1；H－1［0，L］×H－3［0，L］）且对于∀S∈R1，（u0，u1）∈X 这一恒等映射 LS（u0，u1）＝〈（y′（S），－y（S）），（u（S）u′（S））〉X′，X成立，则称（y，y′）是系统（1）的一个解。

定理 4 给定（y0，y1）∈H－1［0，L］×H－3［0，L］且则系统（1）有一个唯一的解，而且线性映射（y0，y1，v）α（y，y′）连续。

证明 由 定理2知，对于每个固定S∈R1，线性形式 LS在 X ＝H3［0，L］×H1［0，L］中有界，而且可以得到线性映射（u（S），u（′S））α（u0，u1）是X＝H3［0，L］×H1［0，L］到自身的同构[2]，因此线性映射

（u（S），u（′S））α L（Su0，u1）

接下来证明函数

在每个有界区间上有界的。即证明对于每个有界区间 I且 S∈I，有

其中 c（I）由 S，v，y0，y1决定。

事实上，选择（u0，u1）∈X，引入下面的简写符号：

若（y0，y1）∈H－1［0，L］× H－3［0，L］，且 v ∈（R1），使得 v（ 0）＝0 则系统（1）有一个正则解

y∈C（R1；H－［10，L］）∩C1（R1；H－［30，L］），特别地有（y，y′）∈C（R1；H－［10，L］×H－3［0，L］）。因为

在C（R1；H－1［0，L］×H－3［0，L］）中稠，由

得出

（y，y′）∈C（R1；H－1［0，L］×H－3［0，L］）在一般情形也成立。由知线性映射（y0，y1，v）α（y，y′）。

且系统（1）的解满足

y（T）＝0，y′（T）＝0。

次系统（2）则下列系统

有一个唯一的解。由定理2，定理4得到Λ（u0，u1）＝（y′（0），－y（0））。

[1]张恭庆,林源渠.泛函分析讲义[M].北京:北京大学出版社,2004.

[2]Komornik V.Exact controllability and stabilization[M].Paris:Chichester,1994.