例谈电磁感应中的“双杆问题”

杨西伦

（凤冈县第二中学 贵州 遵义 564200）

电磁感应中“双杆问题”是课程内部的综合问题，涉及到电磁感应、安培力、牛顿运动定律、动量定理、动量守恒定律及能量守恒定律等．要求学生综合上述知识，认识题目所给的物理情景，找出物理量之间的关系，因此是较难的一类问题，也是近几年高考考查的热点．现将常见的四大类型归纳总结如下，供大家参考．

1 “双杆”向相反方向做匀速运动

规律：当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电池正向串联．

【例1】如图1所示，两根相距d＝0．20 m的平行光滑金属长导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝0．2 T，导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为r＝0．25Ω，回路中其余部分的电阻可不计．已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v＝5．0 m／s．求

（1）作用于每条金属细杆的拉力的大小；

（2）两金属细杆在间距增加0．40 m的滑动过程中产生的热量．

图1

解析：（1）当两金属杆都以速度v匀速滑动时，每条金属杆中产生的感应电动势分别为

根据闭合电路的欧姆定律，回路中的电流强度大小为

由于拉力与安培力平衡，作用于每根金属杆的拉力的大小为

联立各式，代入数据得

（2）设两金属杆之间增加的距离为ΔL，则两金属杆共产生的热量为

代入数据得

2 “双杆”同向运动 一杆加速 另一杆减速

规律：当两杆分别沿相同方向运动时，相当于两个电池反向串联．

【例2】如图2所示，两根足够长且固定的平行光滑金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L，导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B，开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0，若两导体棒在运动中始终不接触．求：

（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少；

图2

解析：ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流，ab棒受到与运动方向相反的安培力作用做减速运动，cd棒则在安培力作用下做加速运动，两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v作匀速运动．

（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，则有mv0＝2 mv．根据能量守恒，整个过程中产生的总热量

速度为v1，则由动量守恒可知

此时回路中的感应电动势和感应电流分别为

3 “双杆”中两杆都做同方向上的加速运动

“双杆”中的一杆在外力作用下做加速运动，另一杆在安培力作用下做加速运动，最终两杆以同样加速度做匀加速直线运动．

【例3】如图3所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B＝0．50 T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计 ．导轨间的距离l＝0．2 0 m．两根质量均为m＝0．10 kg的平行金属杆A，B可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R＝0．50Ω．在t＝0时刻，两杆都处于静止状态．现有一与导轨平行、大小为0．20 N的恒力F作用于金属杆A上，使金属杆在导轨上滑动．经过t＝5．0 s，金属杆A的加速度为a＝1．37 m／s2，问此时两金属杆的速度各为多少？

图3

解析：设任一时刻t，A和B两金属杆的速度分别为v1和v2．根据法拉第电磁感应定律，回路中的

由于作用于杆A和杆B的安培力总是大小相等，方向相反，所以两杆的动量（t＝0时为零）等于外力F的冲量Ft＝mv1＋mv2．代入数据解得

点评：题中感应电动势的计算也可以直接利用导体切割磁感线时产生的感应电动势公式和右手定则求解：设A，B速度分别为v1和v2，两杆切割磁感线产生的感应电动势分别为

由右手定则知两电动势方向相反，故总电动势为

分析A，B两杆的运动，还可以求出A，B两杆的最大速度差Δvm：开始时，金属杆A在恒力F作用下做加速运动，回路中产生感应电流，金属杆B在安培力作用下也将做加速运动，但此时A的加速度肯定大于B的加速度，因此A，B的速度差将增大．根据法拉第电磁感应定律，感应电流将增大，同时A，B两杆所受安培力增大，导致B的加速度增大，A的加速度减小．但只要aA＞aB，A，B的速度差就会继续增大，所以当A，B两杆的加速度相等时，速度差最大．此后，A，B两杆做加速度相等的匀加速直线运动．

设金属杆A，B的共同加速度为a，回路中感应电流最大值Im．对系统和B杆分别应用牛顿第二定律有

根据闭合电路欧姆定律，有

4 “双杆”在不等宽导轨上同向运动

“双杆”在不等宽导轨上同向运动时，两杆所受的安培力不等大反向，所以不能利用动量守恒定律解题．

【例4】如图4所示a1b1c1d1和a2b2c2d2为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面（纸面）向里．导轨的a1b1段与a2b2段是竖直的，距离为l1；c1d1段与c2d2段也是竖直的，距离为l2．x1y1与x2y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为和m1和m2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触．两杆与导轨构成的回路的总电阻为R．F为作用于金属杆x1y1上的竖直向上的恒力．已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率．

图4

解析：设杆向上的速度为v，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减少，从而磁通量也减少．

根据法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势的大小为

作用于两杆的重力的功率的大小为

各式联解得

总之，在处理磁场中的“双杆问题”时，首先是要通过题意抽象出物理情景，理清其双杆类型，挖掘出题目中的有用信息，找出其中遵循的物理规律，正确联系和应用相关知识，就会水到渠成．