非负矩阵Hadamard积的谱半径估计

李华

(河南城建学院数理系，河南平顶山467036)

用A≥0(aij≥0)来表示A是非负矩阵，用Cn×n(Rn×n)表示n阶复(实)矩阵集，矩阵A=(aij)∈Cn×n的n个特征值λ1，λ2，…，λn组成的集合称为矩阵的谱，记为σ(A).矩阵A的n个特征值的模的最大值为矩阵的谱半径，记为ρ(A).由Perron-Frobenius定理知，ρ(A)∈σ(A)，且有非负特征向量x与之对应，满足Ax=ρ(A)x.

对于n阶方阵A，如果存在置换矩阵P，使得

若B、D都是至少为1阶的方阵，则称A是可约的，否则称A是不可约的.

定义1[1]设A=(aij)∈Cn×n，B=(bij)∈Cn×n，称矩阵C=A◦B=(cij)=aijbij为矩阵A与B的Hadamard积.

令r＞0，记A(r)=(arij)，称A(r)为矩阵A的r次Hadamard幂.

对于非负矩阵A与B的Hadamard积谱半径上界的估计，前人做了很多的研究，有一些经典的结果，例如文献[1]中有ρ(A◦B)≤ρ(A)ρ(B).文献[2]中给出了程光辉等在文献[3]中给出了

引理1[4]设a=(a1，a2，…，an)T≥0，b=(b1，b2，…，bn)T≥0，则有

其中k=1，2.

1 主要结果

引理2[5]设P是n阶非负不可约矩阵，若存在不等于零的非负向量z使得Pz≤kz，则有ρ(P)≤k.

设矩阵A=(aij)∈Rn×n，B=(bij)∈Rn×n，A≥0，B≥0，令JA=-D-11Z(A)，Z(A)=DA-A，DA=diag(aii)，D'1=diag(dii)，其中

定理1设矩阵A=(aij)∈Rn×n，B=(bij)∈Rn×n，A≥0，B≥0，则有

(1)当aiibii≠0时，

(2)当aii≠0或bii≠0，但是

(3)当aii=0，bii=0时，有

其中k=1，2．

设u=(u1，u2，…，un)T＞0，v=(v1，v2，…，vn)T＞0，记z=u°v，则对任意的i都有

(1)当aiibii≠0时，则dii=aii，d'ii=bii，由上述不等式知：

(2)当aii≠0或bii≠0，但是aiibii=0时

(3)当aii=0，bii=0时，有

若C=A°B为可约矩阵，设C有块上三角矩阵形式，且不可约的对角块Cii=Aii°Bii，i=1，…，s．则Aii、Bii为不可约的，JAii、JBii可以看为JA、JB的主子矩阵，因为ρ(JAii)≤ρ(JA)，ρ(JBii)≤ρ(JB)，ρ(A°B)=很容易得到上述同样的结果．

特别：当∀i∈N、aii=0、bii=0，k=1时则有ρ(A°B)≤ρ(JA)ρ(JB)．

2 数值例子

实际上，ρ(A°B)=43.由此可知，定理1得到的结果在一定程度上要以前的结果好.

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[1] Horn R A，Johnson C R.Topics in Matrix Analusis[M].Cambridge University Press，1985.

[2] Karilin S，Ost F.Some monotonicity properties of Schur powers of matrices and related inequalities[J].Lin Alg Appl，1985(68)：47-65.

[3] 程光辉，成孝予，黄廷祝.A bound for the maximum eigenvalue of the hadamard product of matrices[J].电子科技大学学报，2007，36(2)：422-423.

[4] 杜琨.矩阵Hadamard积和Fan积的特征值的界[J].华东师范大学学报：自然科学版，2008(5);45-50.

[5] Fang M Z.Bounds on the eigenvalues of the Hadamard product and the Fan product of matrices[J].Lin Alg Appl，2007(425)：7-15.