尺度因子自适应的UKF算法在目标跟踪中的应用

侯建华，刘 倩，笪邦友，马晓路

(中南民族大学电子信息工程学院，武汉430074)

在目标跟踪领域，当系统的状态方程和观测方程是线性时，普通的卡尔曼滤波可以达到较好的跟踪效果［1］.而在实际应用中，现实背景复杂多变，导致系统方程或观测方程往往是非线性的，因此若采用线性的卡尔曼滤波跟踪，就会变得不稳定甚至发散，导致跟踪失败.传统的解决非线性估计问题的方法是采用扩展卡尔曼滤波器，1995年，Baumberg等提出了基于扩展卡尔曼滤波(EKF)的跟踪方法［2］.该算法是对非线性的系统方程或观测方程进行泰勒展开，取其一阶近似项，这种把非线性问题线性化的处理会不可避免地引入线性化误差，此外，系统方程或观测方程的Jacobian矩阵计算非常复杂、耗时，影响整个算法的实时性.为了解决此问题，Julier等提出了用Unscented卡尔曼滤波器来解决非线性滤波的问题［3］.Unscented卡尔曼滤波的核心部分是Unscented变换，它采用一组精心选择的加权采样点(Sigma)来表达系统的统计特性，这些采样根据真正的非线性方程进化而无需将其线性化.研究表明，UKF 算法与 EKF 算法［4，5］相比，能够为卡尔曼滤波器提供更好的非线性均值和方差近似解，对系统状态的估计精度和稳定性都有不同程度的提高.

本文在传统UKF对称采样策略的基础上，引入了比例修正框架［6］以保证协方差的半正定性，减少非局部效应的发生.此外，UKF采样过程中，传统的设定尺度因子的方法是根据实时的环境人工的调整尺度因子α，以得到最优经验值.为了提高UKF跟踪算法的实际应用性和智能性，有必要研究一种更优的自适应的尺度因子调整方法.因此，本文将一种尺度因子自适应的UKF算法应用于不同场景的目标跟踪中，实验证明该算法具有很好的跟踪性能和实用性.

1 Unscented变换

Unscented变换是计算非线性变换的随机变量的统计特征的一种新方法，它使用一组适当选择的带权重的离散采样点(Sigma点)来表征系统状态概率密度的均值和方差.U具体实现步骤是:把被估计的状态视为一个随机变量，在原先状态分布中按照某种采样策略［7］采样一些点，使这些点的均值和协方差与原状态分布中的均值和协方差相同，然后将非线性变换作用于每一个采样，得到相应的函数值点集，再求取这些点集的均值和方差，最后通过观测值调节样本点的位置，使采样点集的均值和方差以二阶精度逼近原状态的均值和方差.

假设n是随机变量x的维数，x的均值为¯x，协方差为Px，y=f(x)是一个非线性函数，通过Unscented变换估计随机变量y的均值和协方差的过程如下［8，9］.

(1)根据以下方程确定一组随机采样点Xi和采样点所对应的均值权值W(tm)和方差权值W(ic):其中κ是自由参数，用来捕捉给定分布的高阶矩信息，一般对于高斯分布，考虑到4阶矩的统计量，通常取n+κ=3.α是尺度因子，控制采样点和均值¯x之间的距离.β是用于考虑分布的先验知识［10］，通常取是矩阵平方根的第i列.

(2)根据非线性变换Yi=f(Xi)计算随机变量Yi的采样.

(3)计算随机变量Yi的均值和协方差:这里列出的Unscented变换是采用对称采样策略，文献［6］证明y均值的计算精度可以精确到三阶，对于协方差的精度可以精确到二阶.在利用公式(5)求权值时加入了比例修正(1－α2+β)，确保输出y的协方差的半正定性［11］.在目标跟踪算法中，就是用这些离散采样点来表征目标状态的.

2 尺度因子α的自适应方法

文献［3］证明可以通过调整尺度因子α的值来控制采样点到中心点的距离di，在对称采样方式下的该距离越远相应的采样点的参考价值就越小，即会产生非局部效应.在仿真实验时可以通过对α取不同的值，从中选择最优的值以达到最好的跟踪效果.但在实时环境中，不允许尝试，必须给出一个具体的尺度因子的取值方案.所以，参考文献［12］，本文将尺度因子α随环境自适应变化的算法应用于UKF的目标跟踪.

假设t时刻的UKF滤波值为x^t/t，真实值为xt/t，而由公式(9)可知，Pt/t表征了预测值与真实值的关系(也就是误差)，可以近似的计算出x^t/t与xt/t之间的距离dt/t，为了方便计算，利用公式(10)近似计算dt/t:

这种方法的基本思路就是用第k步的滤波值近似覆盖真值的邻域O(^xt/t，dt/t)，此作为第t+1样范围，使Sigma点(采样点)到中心点的距离di不超过dt/t，即令:

利用公式(11)求出的 αt+1/t，重新采样生成Sigma点和相应的权值，完成相应的更新.这样循环的更新的 α值，就可以得到尺度因子自适应的Unscented变换.

3 UKF对跟踪系统的建模

UKF是在普通卡尔曼滤波的框架上，将Unscented变换分别应用于均值和协方差的求解，并不断递推，就可得到UKF非线性滤波器.

考虑一般的目标跟踪问题，目标的状态方程和观测方程分别为:

其中A为表征运动模型的参数，xt表示t时刻系统的状态向量，zt为时刻的观测向量，vt为系统噪声，ωt为观测噪声.

本文UKF滤波过程的实现步骤如下:

1)初始化，根据初始状态变量x得到均值^x和协方差P0.

2)计算2n+1个加权Sigma点xi(t－1/t－1)来表征系统的状态分布(其中i=0，1，…，2n，是状态向量的维数):

得到采样点集xi(t－1/t－1);根据公式(9)～(11)更新α;最后将更新的αt+1/t代入公式(4)～(7)计算相应的权值W(m)i，W(c)i.

3)预测.由系统状态方程和观测方程对各个采样的Sigma点集里的每个采样点进行非线性变换，得到变换后的Sigma点集:

计算预测的状态均值和协方差:

4)观测更新.计算观测均值、自相关函数和观测的互相关函数:

计算状态更新的滤波增益:

状态更新后的滤波值:

状态后验概率方差阵:

若继续跟踪t=t+1，转(2);否则结束.

4 仿真方案

为了验证尺度因子自适应的UKF跟踪算法的效果，分别对传统的UKF算法和自适应的UKF算法进行了仿真，并对新算法的实用性进行了测试.

4.1 算法的自适应性验证

4.1.1 仿真条件

在二维直角坐标系中，假设目标做匀速运动，取目标的位置和速度为系统的状态变量，即→x=［x，y，vx，vy］，x和y表示目标中心点的坐标，vx，vy分别表示x，y的导数，即速度.观测向量zt的两个分量分别表示t时刻目标中心处的斜距和方位角，xct和yct分别表示t时刻目标中心处的观测值.vt是从传感器得到的噪声，ωt是从观测样本得到的噪声(仿真时加入随机噪声以模拟复杂环境).具体仿真条件如下:

初始状态向量→x0=［15000，30，15000，30］，Δt=10是采样间隔.

4.1.2 仿真结果与分析

首先对标准的UKF算法进行仿真，分别取α为0.1，0.3，0.5，0.8，1(其中 α=1 是为最优经验值).其次，对本文提出的尺度因子α自适应的UKF算法进行仿真.

实验结果如表1.表1中真值与UKF滤波值的误差比公式为:

表1 不同α下的跟踪精度Tab.1 Tracking performance with difference α

从表1可以看出，尺度因子α的不同取值时对跟踪精度有很大的影响，滤波精度有明显的差异，因此实际应用时需要人工反复调节α的大小以获得最优值(α=1)，使真值和滤波值的差异最小.此操作复杂，智能性和实用性不高.

图1(a)和图1(b)对比可知，尺度因子α自适应的UKF算法能够取得和最优经验值(α=1)时的UKF算法基本相同的跟踪精度.

图1 不同α下的跟踪精度Fig.1 Tracking performance with difference α

4.2 算法的实用性验证

4.2.1 实验条件

为了测试本文算法的实用性和智能性，本文分别对动态背景下的行人行走视频(实验一)和多干扰复杂环境下的车辆行驶视频(实验二)进行试验，并将仿真结果与卡尔曼滤波的跟踪算法进行对比.两组实验的状态向量设置为二维空间的目标的位置、速度，即→x=［x，y，vx，vy］，状态初始值由手动选取目标区域完成，考虑到实时视频任意相邻两帧帧差为几十毫秒，目标速度基本不会发生变化，所以设置系统运动模型为匀速即状态转移矩阵:

A=［1，1，0，0;0，1，0，0;0，0，1，1;0，0，0，1］T，观测模型参数为t时刻目标中心处的斜距和方位角，如公式(21)，系统噪声和观测噪声均调到最佳.

4.2.1 实验结果与分析

如图2所示，本组实验是在视频第三帧时，人工的选取要跟踪的目标(也就是确定初始状态值)，黑色矩形框是目标的跟踪框.视频中的树木和其他行人构成了变化的背景，地面颜色与选定的目标人物上衣颜色相仿，图2(a)～(c)中，由于动态背景和周围杂物的影响，普通的卡尔曼跟踪算法在第30帧时跟踪框已经逐渐偏离目标，在第60帧时已经无法对目标进行跟踪.而图2(d)～(f)(本文算法实验结果)具有明显的优势，在动态背景环境下，本文算法却仍然能够稳定地跟踪目标.

(1)普通卡尔曼滤波进行人体跟踪结果如图2(a)～(c);本文算法进行人体跟踪结果如图2(d)～(f).

图2 卡尔曼滤波和本文算法的比较Fig.2 Comparisons between Kalman filter and improved UKF

(2)普通卡尔曼滤波进行交通车辆跟踪结果如图3(a)～(c);本文算法进行交通车辆跟踪跟踪结果如图3(d)～(f).

图3 卡尔曼滤波和本文算法的比较Fig.3 Comparison between Kalman filter and improved UKF

图3是普通卡尔曼滤波和本文算法用于监测交通车辆的实验结果，初始状态也是通过人工选取，即图3(a)中的第5帧和图3(d)中的第2帧中黑色矩形框选定的卡车.视频中其他来往的车辆构成复杂的非线性背景.实验表明，在复杂的非线性环境下，普通卡尔曼算法不能达到跟踪的目的，如图3(b)所示，在视频第10帧时黑色跟踪框已经偏离目标，基本上失去了跟踪的意义.而本文算法如图3(f)所示，可以一直很稳定的对目标进行跟踪，具有很好的跟踪效果.

综合图2和图3可以看出，不同场景条件下，不用人为的调节尺度因子，本文算法都具有很好的跟踪效果，自适应能力很强，实用性很好.

5 结语

本文提出的尺度因子自适应的UKF跟踪算法能够取得和最优经验值条件下的普通UKF算法大致相同的精度;在不同的实际环境下都能取得理想的跟踪效果，提高了非线性滤波的实时跟踪能力和滤波的数值稳定性，具有非常好的实用价值.

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