无电刷法拉第模型电动机的动力学原理

2012-02-01万树德

物理实验 2012年4期

万树德

（中国科学技术大学电磁学教学组，安徽合肥230026）

1 无电刷法拉第模型电动机

无电刷法拉第模型电动机如图1所示，用于电磁学教学课堂演示.转子线圈用漆包线绕制，近似矩形，线头自两侧引出，刮去漆皮作为转子线圈的转轴，架在由2块铜板做成的导体支架上.两导体板通过开关K分别与干电池两极焊接，接通开关K后电池供电有电流流过转子线圈.在两导电板之间、转子线圈下方安放1块铷铁硼永磁体.通电的转子线圈边框通过磁体附近时会受到安培力的作用.

实验现象如下：1）若K断开，无论给转子线圈任何方向的初始角动量，转子线圈转动几圈后都将逐渐停止转动；2）若K接通，给转子线圈初始角动量，转子线圈将会维持旋转；3）若K接通，给转子线圈一反向的初始角动量，转子线圈也会维持旋转.

在转子线圈通电的情况下，只要给转子线圈初始的角动量让转子线圈转动，转子线圈将维持转动，转动方向保持与原始转动方向一致.

2 解释实验现象遇到的困难

实验现象1）很好解释，K断开，转子线圈无电流通过，磁场对转子线圈无安培作用力，所受磁力矩为0，转子线圈受空气阻力、轴与支架间的摩擦力作用转动逐渐停止，符合牛顿力学规律.

实验现象2）和3）难以解释.

很显然，无电刷法拉第模型电动机不能改变流经转子线圈的电流方向，应不能维持转动.

为了便于说明问题，首先简化问题，由于永磁体安装位置原因，下部磁场较强，上部磁场较弱，假定上部磁场为0，下部磁场垂直向上，转子线圈下边框处在磁场中，受到安培力作用，上边框所受安培力为0.n是转子线圈平面法线方向单位矢量，与线圈电流的右手螺旋旋进方向平行，设它与中垂轴z的夹角为θ，这样无电刷法拉第模型电动机可用图2表示.ω＝dθ／dt是转子线圈的旋转角速度，旋转方向由箭头标示.

因转子线圈转轴两侧导线电流方向相反，分别处在下部磁场区域时所受安培力方向相反，相对转轴的磁力矩方向也是相反的.这样，转子线圈每旋转1周（θ改变2π），总有半周（0～π）所受磁力矩与另外半周（π～2π）所受磁力矩的方向相反而且大小相等.即有半周（π～2π）所受磁力矩与转子线圈初始角动量平行，使转子线圈转动加速，角动量增加；另半周（0～π）所受磁力矩与转子线圈初始角动量反平行，使转子线圈转动减速，角动量减小.

图2 无刷法拉第电动机模型

转子线圈角动量的改变量等于转子线圈所受的冲量矩[1－2]：

据分析，θ由0～π与由π～2π间角动量的改变量满足大小相等方向相反，即：

或者，转子线圈每转动1周由安培力所引起的角动量的改变量为0，即：

如果不考虑空气阻力、转轴与支架间的摩擦力，只要给转子线圈一初始角动量，转动可以一直维持，事实上（实验现象1说明）空气阻力、转轴与支架间的摩擦力是客观存在的，在旋转过程中，耗散力带给转子线圈的冲量矩或角动量增量为负值，无电刷通电转子线圈是不能够维持转动的，这与实验现象2）和3）结果相矛盾.

关于无电刷法拉第模型电动机持续转动原因，首先可能是由于转子线圈关于转轴两侧匝数不对称所造成的，线圈转轴一侧比另一侧多1匝，如图3所示.

图3 转子线圈（转轴两侧匝数不对称）

这样转子线圈每旋转1周有半周所受安培力比另半周所受安培力小，如果碰巧安培力小的半周是发生在阻止转子线圈转动的情况下，那么转子线圈能够持续转动就可以解释了.如果如此，只要改变永磁体磁极方向或改变流经线圈电流方向，安培力小的半周就会发生在加速转子线圈转动的情况下，转动就会停止.分别翻转磁体的磁极、改变流经转子线圈电流方向重复上述实验，转子线圈仍然将会维持旋转.说明无电刷法拉第模型电动机能够维持转动不是由于转子线圈关于转轴两侧匝数不对称所造成的.为了进一步证明这一结果，重新绕制了转子线圈，使转轴两侧匝数关于转轴对称，如图4所示.重复实验的结果还是不支持无电刷法拉第模型电动机转动是由于转子线圈关于转轴两侧匝数不对称引起的推测.

图4 转子线圈（转轴两侧匝数对称）

在上述讨论中认为流经转子线圈的电流大小不变.如果考虑转子线圈转动时切割磁感线，电磁感应可以引起流经转子线圈中的电流的改变，电流不同安培力的大小不同，可能是驱动转子线圈转动，使无电刷法拉第模型电动机维持转动的原因.动生电动势的大小为[2]

由图2可看出，θ由0～π间磁力矩方向与角动量方向相反，阻止转子线圈转动，而感应电流方向与线圈原电流方向一致，考虑电磁感应情况下磁力矩更大；θ由π～2π间磁力矩方向与角动量方向一致，加速转子线圈转动，而感应电流与线圈原电流方向相反，考虑电磁感应情况下磁力矩更小，2个区域的角动量改变量大小不相等，即：分析结果表明：考虑电磁感应比不考虑电磁感应的情况下，阻止转子线圈转动的磁力矩比加速转子线圈转动的磁力矩更大，每旋转1周角动量的减小量大于角动量的增加量.考虑电磁感应转动停止得更快.解释实验现象2）和3）也遇到困难.

3 转子线圈转轴跳动假设

转子线圈的转动轴托举在导电支架上，除了支架对它向上托举约束之外没有其他约束存在，因此提出转轴跳动假设，对无电刷法拉第模型电动机转动给出动力学解释.

θ由π～2π间磁力矩方向与角动量方向一致，加速转子线圈转动，线圈转轴不会跳动.

考虑θ由0～π／2间转子线圈跳离支架使这时本应减速转动变成磁力矩等于0的自由转动，只要此过程引起减小的角动量减小量能弥补旋转1周耗散力引起的角动量减小量，旋转将可持续.

4 实验验证

要验证上述推测是否正确并不难，线圈跳起电路断开，流经线圈电流等于0，只要设法测量流过线圈的电流随时间的变化就可判断出线圈是否跳起.

测量方法：用示波器测量两导电板间的电压随时间变化波形.当线圈转动时转轴与支架相接触情况下有电流流过线圈，导电板间电压就是线圈端电压，小于电源电动势；当线圈跳起无电流流过线圈，导电板间电压等于电源电动势.通过测量导电板间的电压变化波形可知线圈是否跳起.

测量结果如图5所示，跳动确实发生了.横坐标2.5～6.5之间对应θ改变了2π，即转子线圈旋转1周.2.5～3.2间线圈跳起，此时无电流流过线圈，两导电板间的电压等于电源电动势1.5V，对应的θ改变约为这与θ在0～区间会跳离支架分析结果相符；在3.2～4.7间对应于θ在～π区间，线圈受到安培力制动，造成转轴施予支架更大的力，分析结果线圈不会跳动，实验结果却相反，发生了一连串的持续时间很短的跳动，可能的原因是：前次跳动落下时撞击支架、加上落下时瞬间接通电源制动磁力矩使得转轴施予支架更大压力引起转轴弹性形变而反弹所致，因弹跳高度不高持续时间很短.但这些弹跳对维持转子线圈的转动也都是有利的.4.7～6.5间线圈没有跳动保持电源接通，对应θ在π～2π区间磁力矩使转子线圈加速情况.跳动是周期发生的，而且发生在θ在0～π区间，安培力阻止线圈转动的情况下，确保转子线圈每旋转1周由磁力矩引起的角动量的增加量大于减小量，即：