单毛细管中Ellis流体的渗流特性分析

员美娟，郑 伟

（1.武汉科技大学冶金工业过程系统科学湖北省重点实验室，湖北武汉，430065；

2.中国科学院测量与地球物理研究所大地测量与地球动力学国家重点实验室，湖北武汉，430077）

文献［1］～文献［4］利用分形毛细管模型研究了几种非牛顿流体的流动特性。Ellis流体是非牛顿流体中常见的一种。本文在考虑实际弯曲毛细管的分形特性基础上，研究Ellis非牛顿流体在单毛细管中的流动特性，以得到其不含经验常数的分形表达式。

1 Ellis流体在单毛细管中流动的分形模型

1.1 流量

Ellis流体在单根毛细管中的流量方程为［5］：

式中：Δp／L0为施加在毛细管两端的压力梯度，其中Δp为毛细管两端的压降；L0为毛细管通道的直线长度；R为毛细管的半径；φ0、φ1和α为描述Ellis流体特性的常量，其中α＞1。

当φ1＝0时，Ellis模型可简化为牛顿模型，流体在管壁处受到的切应力τw为

弯曲毛细管通道中流体流动的分形幂规律为［6］

式中：DT为毛细管的迂曲度分形维数；Lt为弯曲毛细管通道的实际长度，且Lt≥L0。

考虑到弯曲流线的分形特征，采用毛细管的实际长度Lt，式（1）可改写为

式（4）即为Ellis流体流量方程的分形表达式。式（4）中，当φ1＝0时可得单毛细管中牛顿流体流量方程的分形表达式为

由式（4）、式（5）可以看出，流量是流体特性参数、毛细管结构参数和毛细管两端压降的函数。

1.2 流速

由式（4）可得单毛细管中Ellis流体的流速表达式为

由式（6）可知，Ellis流体在单毛细管中的流速不仅与毛细管的半径R和迂曲度分形维数DT有关，而且与施加在毛细管两端的压力梯度（Δp／L0）和流体的特性参数（φ0、φ1和α）有关。

式（6）中，当φ1＝0时，可得单毛细管中牛顿流体的流速表达式为

1.3 有效渗透率

Ellis流体的本构方程［5］为

由本构方程（8）可写出单毛细管中Ellis流体的表观黏度μa为

管壁处的切应力τw为

结合式（6）、式（9）和式（10），由非牛顿流体满足的广义达西定律可得单毛细管中Ellis流体的有效渗透率为

式（11）中，当φ1＝0时可得单毛细管中牛顿流体的有效渗透率为

由式（11）和式（12）可以看出，Ellis流体的有效渗透率不仅与毛细管的结构参数有关，还与其流体特性相关；而牛顿流体的有效渗透率只与毛细管的结构参数有关，与流体特性无关。

2 结语

本文考虑到弯曲毛细管的分形特性，研究了Ellis流体在单毛细管中的流动特性，给出了该流体在单毛细管中的流量、流速和有效渗透率的分形解析解，所得结果对于进一步理解Ellis流体流动的内在物理机理有一定作用。

［1］ Yun M J，Yu B M，Cai J C.A fractal model for the starting pressure gradient for Bingham fluids in porous media［J］.International Journal of Heat and Mass Transfer，2008，51（5）：1 402－1 408.

［2］ Yun M J，Yu B M，Cai J C.Analysis of seepage characters in fractal porous media［J］.International Journal of Heat and Mass Transfer，2009，52（13）：3 272－3 278.

［3］ Yun M J，Yu B M，Xu P，et al.Fractal analysis of power－law fluid in a single capillary［J］.Chinese Physics Letters，2008，25（2）：616－619.

［4］ 员美娟，郑伟.单毛细管中卡森流体的分形分析［J］.武汉科技大学学报，2012，35（3）：229－231.

［5］ Govier G W，Aziz K.The flow of complex mixtures in pipes［M］.New York：Litton Edu Pub Inc，1972，143－144.

［6］ Yu B M.Fractal character for tortuous streamtubes in porous media［J］.Chinese Physics Letters，2005，22（1）：158－160.